Theorem addcmpblnq 3846

Description: Lemma showing compatibility of addition.

Hypotheses

Ref	Expression
cmpblnq.1	⊢ A ∈ V
cmpblnq.2	⊢ B ∈ V
cmpblnq.3	⊢ C ∈ V
cmpblnq.4	⊢ D ∈ V
cmpblnq.5	⊢ F ∈ V
cmpblnq.6	⊢ G ∈ V
cmpblnq.7	⊢ R ∈ V
cmpblnq.8	⊢ S ∈ V

Assertion

Ref	Expression
addcmpblnq	⊢ ((((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) ∧ ((F ∈ N ∧ G ∈ N) ∧ (R ∈ N ∧ S ∈ N))) → (((A ·N D) = (B ·N C) ∧ (F ·N S) = (G ·N R)) → ⟨((A ·N G) +N (B ·N F)), (B ·N G)⟩ ~Q ⟨((C ·N S) +N (D ·N R)), (D ·N S)⟩))

Proof of Theorem addcmpblnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addclpi 3814	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ·N G) ∈ N ∧ (B ·N F) ∈ N) → ((A ·N G) +N (B ·N F)) ∈ N)
2		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ N ∧ G ∈ N) → (A ·N G) ∈ N)
3		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ N ∧ F ∈ N) → (B ·N F) ∈ N)
4	1, 2, 3	syl2an 349	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ N ∧ G ∈ N) ∧ (B ∈ N ∧ F ∈ N)) → ((A ·N G) +N (B ·N F)) ∈ N)
5	4	an42s 391	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (F ∈ N ∧ G ∈ N)) → ((A ·N G) +N (B ·N F)) ∈ N)
6		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ N ∧ G ∈ N) → (B ·N G) ∈ N)
7	6	adantl 305	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ N ∧ F ∈ N) ∧ (B ∈ N ∧ G ∈ N)) → (B ·N G) ∈ N)
8	7	an4s 390	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (F ∈ N ∧ G ∈ N)) → (B ·N G) ∈ N)
9	5, 8	jca 236	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (F ∈ N ∧ G ∈ N)) → (((A ·N G) +N (B ·N F)) ∈ N ∧ (B ·N G) ∈ N))
10		addclpi 3814	. . . . . . . 8 ⊢ (((C ·N S) ∈ N ∧ (D ·N R) ∈ N) → ((C ·N S) +N (D ·N R)) ∈ N)
11		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((C ∈ N ∧ S ∈ N) → (C ·N S) ∈ N)
12		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((D ∈ N ∧ R ∈ N) → (D ·N R) ∈ N)
13	10, 11, 12	syl2an 349	. . . . . . 7 ⊢ (((C ∈ N ∧ S ∈ N) ∧ (D ∈ N ∧ R ∈ N)) → ((C ·N S) +N (D ·N R)) ∈ N)
14	13	an42s 391	. . . . . 6 ⊢ (((C ∈ N ∧ D ∈ N) ∧ (R ∈ N ∧ S ∈ N)) → ((C ·N S) +N (D ·N R)) ∈ N)
15		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((D ∈ N ∧ S ∈ N) → (D ·N S) ∈ N)
16	15	adantl 305	. . . . . . 7 ⊢ (((C ∈ N ∧ R ∈ N) ∧ (D ∈ N ∧ S ∈ N)) → (D ·N S) ∈ N)
17	16	an4s 390	. . . . . 6 ⊢ (((C ∈ N ∧ D ∈ N) ∧ (R ∈ N ∧ S ∈ N)) → (D ·N S) ∈ N)
18	14, 17	jca 236	. . . . 5 ⊢ (((C ∈ N ∧ D ∈ N) ∧ (R ∈ N ∧ S ∈ N)) → (((C ·N S) +N (D ·N R)) ∈ N ∧ (D ·N S) ∈ N))
19	9, 18	anim12i 268	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (F ∈ N ∧ G ∈ N)) ∧ ((C ∈ N ∧ D ∈ N) ∧ (R ∈ N ∧ S ∈ N))) → ((((A ·N G) +N (B ·N F)) ∈ N ∧ (B ·N G) ∈ N) ∧ (((C ·N S) +N (D ·N R)) ∈ N ∧ (D ·N S) ∈ N)))
20	19	an4s 390	. . 3 ⊢ ((((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) ∧ ((F ∈ N ∧ G ∈ N) ∧ (R ∈ N ∧ S ∈ N))) → ((((A ·N G) +N (B ·N F)) ∈ N ∧ (B ·N G) ∈ N) ∧ (((C ·N S) +N (D ·N R)) ∈ N ∧ (D ·N S) ∈ N)))
21		enqbreq 3838	. . 3 ⊢ (((((A ·N G) +N (B ·N F)) ∈ N ∧ (B ·N G) ∈ N) ∧ (((C ·N S) +N (D ·N R)) ∈ N ∧ (D ·N S) ∈ N)) → (⟨((A ·N G) +N (B ·N F)), (B ·N G)⟩ ~Q ⟨((C ·N S) +N (D ·N R)), (D ·N S)⟩ ↔ (((A ·N G) +N (B ·N F)) ·N (D ·N S)) = ((B ·N G) ·N ((C ·N S) +N (D ·N R)))))
22	20, 21	syl 12	. 2 ⊢ ((((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) ∧ ((F ∈ N ∧ G ∈ N) ∧ (R ∈ N ∧ S ∈ N))) → (⟨((A ·N G) +N (B ·N F)), (B ·N G)⟩ ~Q ⟨((C ·N S) +N (D ·N R)), (D ·N S)⟩ ↔ (((A ·N G) +N (B ·N F)) ·N (D ·N S)) = ((B ·N G) ·N ((C ·N S) +N (D ·N R)))))
23		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ ((A ·N D) = (B ·N C) → ((A ·N D) ·N (G ·N S)) = ((B ·N C) ·N (G ·N S)))
24		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ ((F ·N S) = (G ·N R) → ((B ·N D) ·N (F ·N S)) = ((B ·N D) ·N (G ·N R)))
25	23, 24	opreqan12d 3015	. . 3 ⊢ (((A ·N D) = (B ·N C) ∧ (F ·N S) = (G ·N R)) → (((A ·N D) ·N (G ·N S)) +N ((B ·N D) ·N (F ·N S))) = (((B ·N C) ·N (G ·N S)) +N ((B ·N D) ·N (G ·N R))))
26		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (A ·N G) ∈ V
27		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (B ·N F) ∈ V
28		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (D ·N S) ∈ V
29		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
30		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
31	29, 30	mulcompi 3818	. . . . 5 ⊢ (x ·N y) = (y ·N x)
32		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ z ∈ V
33	30, 32	distrpi 3820	. . . . 5 ⊢ (x ·N (y +N z)) = ((x ·N y) +N (x ·N z))
34	26, 27, 28, 31, 33	caoprdistrr 3081	. . . 4 ⊢ (((A ·N G) +N (B ·N F)) ·N (D ·N S)) = (((A ·N G) ·N (D ·N S)) +N ((B ·N F) ·N (D ·N S)))
35		cmpblnq.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ V
36		cmpblnq.6	. . . . . 6 ⊢ G ∈ V
37		cmpblnq.4	. . . . . 6 ⊢ D ∈ V
38	30, 32	mulasspi 3819	. . . . . 6 ⊢ ((x ·N y) ·N z) = (x ·N (y ·N z))
39		cmpblnq.8	. . . . . 6 ⊢ S ∈ V
40	35, 36, 37, 31, 38, 39	caopr4 3078	. . . . 5 ⊢ ((A ·N G) ·N (D ·N S)) = ((A ·N D) ·N (G ·N S))
41		cmpblnq.2	. . . . . 6 ⊢ B ∈ V
42		cmpblnq.5	. . . . . 6 ⊢ F ∈ V
43	41, 42, 37, 31, 38, 39	caopr4 3078	. . . . 5 ⊢ ((B ·N F) ·N (D ·N S)) = ((B ·N D) ·N (F ·N S))
44	40, 43	opreq12i 3011	. . . 4 ⊢ (((A ·N G) ·N (D ·N S)) +N ((B ·N F) ·N (D ·N S))) = (((A ·N D) ·N (G ·N S)) +N ((B ·N D) ·N (F ·N S)))
45	34, 44	eqtr 1119	. . 3 ⊢ (((A ·N G) +N (B ·N F)) ·N (D ·N S)) = (((A ·N D) ·N (G ·N S)) +N ((B ·N D) ·N (F ·N S)))
46		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (C ·N S) ∈ V
47		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (D ·N R) ∈ V
48	46, 47	distrpi 3820	. . . 4 ⊢ ((B ·N G) ·N ((C ·N S) +N (D ·N R))) = (((B ·N G) ·N (C ·N S)) +N ((B ·N G) ·N (D ·N R)))
49		cmpblnq.3	. . . . . 6 ⊢ C ∈ V
50	41, 36, 49, 31, 38, 39	caopr4 3078	. . . . 5 ⊢ ((B ·N G) ·N (C ·N S)) = ((B ·N C) ·N (G ·N S))
51		cmpblnq.7	. . . . . 6 ⊢ R ∈ V
52	41, 36, 37, 31, 38, 51	caopr4 3078	. . . . 5 ⊢ ((B ·N G) ·N (D ·N R)) = ((B ·N D) ·N (G ·N R))
53	50, 52	opreq12i 3011	. . . 4 ⊢ (((B ·N G) ·N (C ·N S)) +N ((B ·N G) ·N (D ·N R))) = (((B ·N C) ·N (G ·N S)) +N ((B ·N D) ·N (G ·N R)))
54	48, 53	eqtr 1119	. . 3 ⊢ ((B ·N G) ·N ((C ·N S) +N (D ·N R))) = (((B ·N C) ·N (G ·N S)) +N ((B ·N D) ·N (G ·N R)))
55	25, 45, 54	3eqtr4g 1147	. 2 ⊢ (((A ·N D) = (B ·N C) ∧ (F ·N S) = (G ·N R)) → (((A ·N G) +N (B ·N F)) ·N (D ·N S)) = ((B ·N G) ·N ((C ·N S) +N (D ·N R))))
56	22, 55	syl5bir 184	1 ⊢ ((((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) ∧ ((F ∈ N ∧ G ∈ N) ∧ (R ∈ N ∧ S ∈ N))) → (((A ·N D) = (B ·N C) ∧ (F ·N S) = (G ·N R)) → ⟨((A ·N G) +N (B ·N F)), (B ·N G)⟩ ~Q ⟨((C ·N S) +N (D ·N R)), (D ·N S)⟩))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Ncnpi 3766   +_N cpli 3767   ·_N cmi 3768   ~_Q ceq 3772

This theorem is referenced by:  addpipq 3848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-enq 3831

metamath.org