Theorem addcompq 3856

Description: Addition of positive fractions is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
addcompq.1	⊢ A ∈ V
addcompq.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
addcompq	⊢ (A +Q B) = (B +Q A)

Proof of Theorem addcompq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 3832	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		addpipq 3848	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q )
3		addpipq 3848	. . 3 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (x ∈ N ∧ y ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨((z ·N y) +N (w ·N x)), (w ·N y)⟩] ~Q )
4		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
5		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ w ∈ V
6	4, 5	mulcompi 3818	. . . . 5 ⊢ (x ·N w) = (w ·N x)
7		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
8		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ z ∈ V
9	7, 8	mulcompi 3818	. . . . 5 ⊢ (y ·N z) = (z ·N y)
10	6, 9	opreq12i 3011	. . . 4 ⊢ ((x ·N w) +N (y ·N z)) = ((w ·N x) +N (z ·N y))
11		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (w ·N x) ∈ V
12		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (z ·N y) ∈ V
13	11, 12	addcompi 3816	. . . 4 ⊢ ((w ·N x) +N (z ·N y)) = ((z ·N y) +N (w ·N x))
14	10, 13	eqtr 1119	. . 3 ⊢ ((x ·N w) +N (y ·N z)) = ((z ·N y) +N (w ·N x))
15	7, 5	mulcompi 3818	. . 3 ⊢ (y ·N w) = (w ·N y)
16	1, 2, 3, 14, 15	ecoprcom 3255	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A +Q B) = (B +Q A))
17		addcompq.2	. . 3 ⊢ B ∈ V
18		dmaddpq 3853	. . 3 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
19		addcompq.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
20	17, 18, 19	ndmoprcom 3061	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A +Q B) = (B +Q A))
21	16, 20	pm2.61i 110	1 ⊢ (A +Q B) = (B +Q A)

Syntax hints:   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  (class class class)co 3001  Ncnpi 3766   +_N cpli 3767   ·_N cmi 3768   ~_Q ceq 3772  Qcnq 3773   +_Q cplq 3775

This theorem is referenced by:  ltaddpq 3873  addclprlem2 3913  addclpr 3914  addcompr 3917  distrlem4pr 3924  prlem934 3933  ltexprlem2 3937  ltexprlem6 3941  ltexprlem7 3942  prlem936a 3947

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-plpq 3829  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833

metamath.org