Theorem addge0 4324

Description: Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative.

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ A ∈ ℝ
lt.2	⊢ B ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
addge0	⊢ ((0 ≤ A ∧ 0 ≤ B) → 0 ≤ (A + B))

Proof of Theorem addge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ ℝ
2		lt.2	. . . . 5 ⊢ B ∈ ℝ
3	1, 2	addgt0 4323	. . . 4 ⊢ ((0 < A ∧ 0 < B) → 0 < (A + B))
4		ax0re 4063	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5	1, 2	readdcl 4118	. . . . 5 ⊢ (A + B) ∈ ℝ
6	4, 5	ltle 4302	. . . 4 ⊢ (0 < (A + B) → 0 ≤ (A + B))
7	3, 6	syl 12	. . 3 ⊢ ((0 < A ∧ 0 < B) → 0 ≤ (A + B))
8		opreq1 3006	. . . . . . 7 ⊢ (0 = A → (0 + B) = (A + B))
9	2	recn 4098	. . . . . . . 8 ⊢ B ∈ ℂ
10	9	addid2 4113	. . . . . . 7 ⊢ (0 + B) = B
11	8, 10	syl5eqr 1138	. . . . . 6 ⊢ (0 = A → B = (A + B))
12	11	breq2d 2072	. . . . 5 ⊢ (0 = A → (0 < B ↔ 0 < (A + B)))
13	12	biimpa 324	. . . 4 ⊢ ((0 = A ∧ 0 < B) → 0 < (A + B))
14	13, 6	syl 12	. . 3 ⊢ ((0 = A ∧ 0 < B) → 0 ≤ (A + B))
15		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (0 = B → (A + 0) = (A + B))
16	1	recn 4098	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ ℂ
17	16	addid1 4112	. . . . . . 7 ⊢ (A + 0) = A
18	15, 17	syl5eqr 1138	. . . . . 6 ⊢ (0 = B → A = (A + B))
19	18	breq2d 2072	. . . . 5 ⊢ (0 = B → (0 < A ↔ 0 < (A + B)))
20	19	biimpac 326	. . . 4 ⊢ ((0 < A ∧ 0 = B) → 0 < (A + B))
21	20, 6	syl 12	. . 3 ⊢ ((0 < A ∧ 0 = B) → 0 ≤ (A + B))
22		opreq12 3008	. . . . 5 ⊢ ((0 = A ∧ 0 = B) → (0 + 0) = (A + B))
23		0cn 4100	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
24	23	addid1 4112	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
25	22, 24	syl5eqr 1138	. . . 4 ⊢ ((0 = A ∧ 0 = B) → 0 = (A + B))
26	4, 5	eqle 4304	. . . 4 ⊢ (0 = (A + B) → 0 ≤ (A + B))
27	25, 26	syl 12	. . 3 ⊢ ((0 = A ∧ 0 = B) → 0 ≤ (A + B))
28	7, 14, 21, 27	ccase 562	. 2 ⊢ (((0 < A ∨ 0 = A) ∧ (0 < B ∨ 0 = B)) → 0 ≤ (A + B))
29	4, 1	leloe 4298	. 2 ⊢ (0 ≤ A ↔ (0 < A ∨ 0 = A))
30	4, 2	leloe 4298	. 2 ⊢ (0 ≤ B ↔ (0 < B ∨ 0 = B))
31	28, 29, 30	syl2anb 350	1 ⊢ ((0 ≤ A ∧ 0 ≤ B) → 0 ≤ (A + B))

Syntax hints:   → wi 2   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028   + caddc 4031   < clt 4033   ≤ cle 4092

This theorem is referenced by:  addge0t 4362  cjmulge0 4823  abs00 4839  abstri 4859  norm-ii 5086  projlem5 5197  projlem28 5220

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-r 4038  df-plus 4039  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277

metamath.org