Theorem addgt0sr 4007

Description: The sum of two positive signed reals is positive.

Hypotheses

Ref	Expression
addgt0sr.1	⊢ A ∈ V
addgt0sr.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
addgt0sr	⊢ ((0R <R A ∧ 0R <R B) → 0R <R (A +R B))

Proof of Theorem addgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 3983	. . . . 5 ⊢ 0R ∈ R
2	1	elisseti 1355	. . . 4 ⊢ 0R ∈ V
3		ltsosr 3997	. . . 4 ⊢ <R Or R
4		ltrelsr 3974	. . . 4 ⊢ <R ⊆ (R × R)
5		addgt0sr.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
6		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (A +R B) ∈ V
7	2, 3, 4, 5, 6	sotri 2630	. . 3 ⊢ ((0R <R A ∧ A <R (A +R B)) → 0R <R (A +R B))
8	5, 4	brel 2459	. . . . . 6 ⊢ (0R <R A → (0R ∈ R ∧ A ∈ R))
9	8	pm3.27d 262	. . . . 5 ⊢ (0R <R A → A ∈ R)
10		addgt0sr.2	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ V
11	2, 10	ltasr 4003	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ R → (0R <R B ↔ (A +R 0R) <R (A +R B)))
12		0idsr 4000	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ R → (A +R 0R) = A)
13	12	breq1d 2071	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ R → ((A +R 0R) <R (A +R B) ↔ A <R (A +R B)))
14	11, 13	bitrd 406	. . . . 5 ⊢ (A ∈ R → (0R <R B ↔ A <R (A +R B)))
15	9, 14	syl 12	. . . 4 ⊢ (0R <R A → (0R <R B ↔ A <R (A +R B)))
16	15	biimpa 324	. . 3 ⊢ ((0R <R A ∧ 0R <R B) → A <R (A +R B))
17	7, 16	sylan2 346	. 2 ⊢ ((0R <R A ∧ (0R <R A ∧ 0R <R B)) → 0R <R (A +R B))
18	17	anabss5 384	1 ⊢ ((0R <R A ∧ 0R <R B) → 0R <R (A +R B))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788   +_R cplr 3791   <_R cltr 3793

This theorem is referenced by:  ssgt0sr 4011

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-ltr 3964  df-0r 3965

metamath.org