Theorem alephgeom 3687

Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
alephgeom	⊢ (A ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ ‘A))

Proof of Theorem alephgeom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 1725	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ A
2		0elon 2277	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
3		alephord3 3683	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ A ∈ On) → (∅ ⊆ A ↔ (ℵ ‘∅) ⊆ (ℵ ‘A)))
4	2, 3	mpan 518	. . . 4 ⊢ (A ∈ On → (∅ ⊆ A ↔ (ℵ ‘∅) ⊆ (ℵ ‘A)))
5	1, 4	mpbii 168	. . 3 ⊢ (A ∈ On → (ℵ ‘∅) ⊆ (ℵ ‘A))
6		aleph0 3669	. . 3 ⊢ (ℵ ‘∅) = ω
7	5, 6	syl5ssr 1545	. 2 ⊢ (A ∈ On → ω ⊆ (ℵ ‘A))
8		peano1 2390	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
9		ordom 2382	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
10		ord0 2276	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ∅
11		ordtri1 2231	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord ∅) → (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω))
12	9, 10, 11	mp2an 520	. . . . . . 7 ⊢ (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω)
13	12	bicon2i 194	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ ∅)
14	8, 13	mpbi 164	. . . . 5 ⊢ ¬ ω ⊆ ∅
15		ndmfv 2848	. . . . . 6 ⊢ (¬ A ∈ dom ℵ → (ℵ ‘A) = ∅)
16	15	sseq2d 1528	. . . . 5 ⊢ (¬ A ∈ dom ℵ → (ω ⊆ (ℵ ‘A) ↔ ω ⊆ ∅))
17	14, 16	mtbiri 539	. . . 4 ⊢ (¬ A ∈ dom ℵ → ¬ ω ⊆ (ℵ ‘A))
18	17	a3i 69	. . 3 ⊢ (ω ⊆ (ℵ ‘A) → A ∈ dom ℵ)
19		alephfnon 3668	. . . . 5 ⊢ ℵ Fn On
20		fndm 2723	. . . . 5 ⊢ (ℵ Fn On → dom ℵ = On)
21	19, 20	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ dom ℵ = On
22	21	eleq2i 1153	. . 3 ⊢ (A ∈ dom ℵ ↔ A ∈ On)
23	18, 22	sylib 173	. 2 ⊢ (ω ⊆ (ℵ ‘A) → A ∈ On)
24	7, 23	impbi 139	1 ⊢ (A ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ ‘A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  Ord word 2198  Oncon0 2199  ωcom 2372  dom cdm 2410   Fn wfn 2417   ‘cfv 2422  ℵcale 3621

This theorem is referenced by:  alephislim 3688  cardalephex 3691  isinfcard 3692  alephexp1 4954  alephsuc3 4955  alephexp2 4956

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623  df-aleph 3624

metamath.org