Theorem alephnbtwn 3674

Description: No cardinal can be sandwiched between an aleph and its successor aleph. Theorem 67 of [Suppes] p. 229.

Assertion

Ref	Expression
alephnbtwn	⊢ ((card ‘B) = B → ¬ ((ℵ ‘A) ∈ B ∧ B ∈ (ℵ ‘suc A)))

Proof of Theorem alephnbtwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((card ‘B) = B → ((ℵ ‘A) ∈ (card ‘B) ↔ (ℵ ‘A) ∈ B))
2		alephon 3671	. . . . . . . 8 ⊢ (ℵ ‘A) ∈ On
3		cardsdomel 3658	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℵ ‘A) ∈ On → ((ℵ ‘A) ≺ B ↔ (ℵ ‘A) ∈ (card ‘B)))
4	2, 3	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ ‘A) ≺ B ↔ (ℵ ‘A) ∈ (card ‘B))
5	1, 4	syl5bb 410	. . . . . 6 ⊢ ((card ‘B) = B → ((ℵ ‘A) ≺ B ↔ (ℵ ‘A) ∈ B))
6	5	adantl 305	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ On ∧ (card ‘B) = B) → ((ℵ ‘A) ≺ B ↔ (ℵ ‘A) ∈ B))
7		alephsuc 3672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ On → (ℵ ‘suc A) = ∩{x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x})
8	7	eleq2d 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ On → (B ∈ (ℵ ‘suc A) ↔ B ∈ ∩{x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x}))
9	8	biimpd 135	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ On → (B ∈ (ℵ ‘suc A) → B ∈ ∩{x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x}))
10		breq2 2066	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = B → ((ℵ ‘A) ≺ x ↔ (ℵ ‘A) ≺ B))
11	10	onnminsb 2271	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ On → (B ∈ ∩{x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x} → ¬ (ℵ ‘A) ≺ B))
12	9, 11	sylan9 359	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On) → (B ∈ (ℵ ‘suc A) → ¬ (ℵ ‘A) ≺ B))
13	12	con2d 83	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On) → ((ℵ ‘A) ≺ B → ¬ B ∈ (ℵ ‘suc A)))
14		cardon 3634	. . . . . . 7 ⊢ (card ‘B) ∈ On
15		eleq1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((card ‘B) = B → ((card ‘B) ∈ On ↔ B ∈ On))
16	14, 15	mpbii 168	. . . . . 6 ⊢ ((card ‘B) = B → B ∈ On)
17	13, 16	sylan2 346	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ On ∧ (card ‘B) = B) → ((ℵ ‘A) ≺ B → ¬ B ∈ (ℵ ‘suc A)))
18	6, 17	sylbird 180	. . . 4 ⊢ ((A ∈ On ∧ (card ‘B) = B) → ((ℵ ‘A) ∈ B → ¬ B ∈ (ℵ ‘suc A)))
19		imnan 207	. . . 4 ⊢ (((ℵ ‘A) ∈ B → ¬ B ∈ (ℵ ‘suc A)) ↔ ¬ ((ℵ ‘A) ∈ B ∧ B ∈ (ℵ ‘suc A)))
20	18, 19	sylib 173	. . 3 ⊢ ((A ∈ On ∧ (card ‘B) = B) → ¬ ((ℵ ‘A) ∈ B ∧ B ∈ (ℵ ‘suc A)))
21	20	exp 291	. 2 ⊢ (A ∈ On → ((card ‘B) = B → ¬ ((ℵ ‘A) ∈ B ∧ B ∈ (ℵ ‘suc A))))
22		n0i 1712	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ (ℵ ‘suc A) → ¬ (ℵ ‘suc A) = ∅)
23		alephfnon 3668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℵ Fn On
24		fndm 2723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℵ Fn On → dom ℵ = On)
25	23, 24	ax-mp 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom ℵ = On
26	25	eleq2i 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ (suc A ∈ dom ℵ ↔ suc A ∈ On)
27	26	negbii 162	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ suc A ∈ dom ℵ ↔ ¬ suc A ∈ On)
28		ndmfv 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ suc A ∈ dom ℵ → (ℵ ‘suc A) = ∅)
29	27, 28	sylbir 176	. . . . . . 7 ⊢ (¬ suc A ∈ On → (ℵ ‘suc A) = ∅)
30	22, 29	nsyl2 103	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ (ℵ ‘suc A) → suc A ∈ On)
31		sucelon 2319	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ On ↔ suc A ∈ On)
32	30, 31	sylibr 175	. . . . 5 ⊢ (B ∈ (ℵ ‘suc A) → A ∈ On)
33	32	adantl 305	. . . 4 ⊢ (((ℵ ‘A) ∈ B ∧ B ∈ (ℵ ‘suc A)) → A ∈ On)
34	33	con3i 90	. . 3 ⊢ (¬ A ∈ On → ¬ ((ℵ ‘A) ∈ B ∧ B ∈ (ℵ ‘suc A)))
35	34	a1d 14	. 2 ⊢ (¬ A ∈ On → ((card ‘B) = B → ¬ ((ℵ ‘A) ∈ B ∧ B ∈ (ℵ ‘suc A))))
36	21, 35	pm2.61i 110	1 ⊢ ((card ‘B) = B → ¬ ((ℵ ‘A) ∈ B ∧ B ∈ (ℵ ‘suc A)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  {crab 1204  ∅c0 1707  ∩cint 1965   class class class wbr 2054  Oncon0 2199  suc csuc 2201  dom cdm 2410   Fn wfn 2417   ‘cfv 2422   ≺ csdm 3273  cardccrd 3620  ℵcale 3621

This theorem is referenced by:  alephnbtwn2 3675

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623  df-aleph 3624

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