Theorem alephordi 3679

Description: Strict ordering property of the aleph function.

Assertion

Ref	Expression
alephordi	⊢ (B ∈ On → (A ∈ B → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘B)))

Proof of Theorem alephordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1150	. . 3 ⊢ (x = ∅ → (A ∈ x ↔ A ∈ ∅))
2		fveq2 2832	. . . 4 ⊢ (x = ∅ → (ℵ ‘x) = (ℵ ‘∅))
3	2	breq2d 2072	. . 3 ⊢ (x = ∅ → ((ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘x) ↔ (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘∅)))
4	1, 3	imbi12d 474	. 2 ⊢ (x = ∅ → ((A ∈ x → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘x)) ↔ (A ∈ ∅ → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘∅))))
5		eleq2 1150	. . 3 ⊢ (x = y → (A ∈ x ↔ A ∈ y))
6		fveq2 2832	. . . 4 ⊢ (x = y → (ℵ ‘x) = (ℵ ‘y))
7	6	breq2d 2072	. . 3 ⊢ (x = y → ((ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘x) ↔ (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘y)))
8	5, 7	imbi12d 474	. 2 ⊢ (x = y → ((A ∈ x → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘x)) ↔ (A ∈ y → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘y))))
9		eleq2 1150	. . 3 ⊢ (x = suc y → (A ∈ x ↔ A ∈ suc y))
10		fveq2 2832	. . . 4 ⊢ (x = suc y → (ℵ ‘x) = (ℵ ‘suc y))
11	10	breq2d 2072	. . 3 ⊢ (x = suc y → ((ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘x) ↔ (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc y)))
12	9, 11	imbi12d 474	. 2 ⊢ (x = suc y → ((A ∈ x → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘x)) ↔ (A ∈ suc y → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc y))))
13		eleq2 1150	. . 3 ⊢ (x = B → (A ∈ x ↔ A ∈ B))
14		fveq2 2832	. . . 4 ⊢ (x = B → (ℵ ‘x) = (ℵ ‘B))
15	14	breq2d 2072	. . 3 ⊢ (x = B → ((ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘x) ↔ (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘B)))
16	13, 15	imbi12d 474	. 2 ⊢ (x = B → ((A ∈ x → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘x)) ↔ (A ∈ B → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘B))))
17		noel 1711	. . 3 ⊢ ¬ A ∈ ∅
18	17	pm2.21i 73	. 2 ⊢ (A ∈ ∅ → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘∅))
19		sdomtr 3373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘y) ∧ (ℵ ‘y) ≺ (ℵ ‘suc y)) → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc y))
20		alephordlem1 3677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ On → (ℵ ‘y) ≺ (ℵ ‘suc y))
21	19, 20	sylan2 346	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘y) ∧ y ∈ On) → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc y))
22	21	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘y) → (y ∈ On → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc y)))
23	22	com12 13	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ On → ((ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘y) → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc y)))
24	23	syl3d 26	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ On → ((A ∈ y → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘y)) → (A ∈ y → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc y))))
25	24	com23 32	. . . . 5 ⊢ (y ∈ On → (A ∈ y → ((A ∈ y → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘y)) → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc y))))
26		fveq2 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (A = y → (ℵ ‘A) = (ℵ ‘y))
27	26	breq1d 2071	. . . . . . . 8 ⊢ (A = y → ((ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc y) ↔ (ℵ ‘y) ≺ (ℵ ‘suc y)))
28	27, 20	syl5bir 184	. . . . . . 7 ⊢ (A = y → (y ∈ On → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc y)))
29	28	a1d 14	. . . . . 6 ⊢ (A = y → ((A ∈ y → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘y)) → (y ∈ On → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc y))))
30	29	com3r 35	. . . . 5 ⊢ (y ∈ On → (A = y → ((A ∈ y → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘y)) → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc y))))
31	25, 30	jaod 329	. . . 4 ⊢ (y ∈ On → ((A ∈ y ∨ A = y) → ((A ∈ y → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘y)) → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc y))))
32		visset 1350	. . . . 5 ⊢ y ∈ V
33	32	elsuc2 2293	. . . 4 ⊢ (A ∈ suc y ↔ (A ∈ y ∨ A = y))
34	31, 33	syl5ib 181	. . 3 ⊢ (y ∈ On → (A ∈ suc y → ((A ∈ y → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘y)) → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc y))))
35	34	com23 32	. 2 ⊢ (y ∈ On → ((A ∈ y → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘y)) → (A ∈ suc y → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc y))))
36		visset 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ x ∈ V
37		alephlim 3670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ V ∧ Lim x) → (ℵ ‘x) = ∪y ∈ x (ℵ ‘y))
38	36, 37	mpan 518	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim x → (ℵ ‘x) = ∪y ∈ x (ℵ ‘y))
39	38	sseq2d 1528	. . . . . . 7 ⊢ (Lim x → ((ℵ ‘A) ⊆ (ℵ ‘x) ↔ (ℵ ‘A) ⊆ ∪y ∈ x (ℵ ‘y)))
40		fveq2 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (y = A → (ℵ ‘y) = (ℵ ‘A))
41	40	ssiun2s 2020	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ x → (ℵ ‘A) ⊆ ∪y ∈ x (ℵ ‘y))
42	39, 41	syl5bir 184	. . . . . 6 ⊢ (Lim x → (A ∈ x → (ℵ ‘A) ⊆ (ℵ ‘x)))
43		alephon 3671	. . . . . . 7 ⊢ (ℵ ‘A) ∈ On
44		ssdomg 3311	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ ‘A) ∈ On → ((ℵ ‘A) ⊆ (ℵ ‘x) → (ℵ ‘A) ≼ (ℵ ‘x)))
45	43, 44	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ ‘A) ⊆ (ℵ ‘x) → (ℵ ‘A) ≼ (ℵ ‘x))
46	42, 45	syl6 23	. . . . 5 ⊢ (Lim x → (A ∈ x → (ℵ ‘A) ≼ (ℵ ‘x)))
47		limsuc 2361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Lim x → (A ∈ x ↔ suc A ∈ x))
48		alephordlem2 3678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ V ∧ Lim x) → (suc A ∈ x → (ℵ ‘suc A) ≼ (ℵ ‘x)))
49	36, 48	mpan 518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Lim x → (suc A ∈ x → (ℵ ‘suc A) ≼ (ℵ ‘x)))
50	47, 49	sylbid 178	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim x → (A ∈ x → (ℵ ‘suc A) ≼ (ℵ ‘x)))
51	50	imp 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((Lim x ∧ A ∈ x) → (ℵ ‘suc A) ≼ (ℵ ‘x))
52		domnsym 3365	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℵ ‘suc A) ≼ (ℵ ‘x) → ¬ (ℵ ‘x) ≺ (ℵ ‘suc A))
53	51, 52	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ ((Lim x ∧ A ∈ x) → ¬ (ℵ ‘x) ≺ (ℵ ‘suc A))
54		onelon 2223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ On ∧ A ∈ x) → A ∈ On)
55		limelon 2286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ V ∧ Lim x) → x ∈ On)
56	36, 55	mpan 518	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim x → x ∈ On)
57	54, 56	sylan 343	. . . . . . . 8 ⊢ ((Lim x ∧ A ∈ x) → A ∈ On)
58		fvex 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℵ ‘x) ∈ V
59	58	ensym 3317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℵ ‘A) ≈ (ℵ ‘x) → (ℵ ‘x) ≈ (ℵ ‘A))
60		ensdomtr 3372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℵ ‘x) ≈ (ℵ ‘A) ∧ (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc A)) → (ℵ ‘x) ≺ (ℵ ‘suc A))
61	60	exp 291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℵ ‘x) ≈ (ℵ ‘A) → ((ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc A) → (ℵ ‘x) ≺ (ℵ ‘suc A)))
62	59, 61	syl 12	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℵ ‘A) ≈ (ℵ ‘x) → ((ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc A) → (ℵ ‘x) ≺ (ℵ ‘suc A)))
63		alephordlem1 3677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ On → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc A))
64	62, 63	syl5 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℵ ‘A) ≈ (ℵ ‘x) → (A ∈ On → (ℵ ‘x) ≺ (ℵ ‘suc A)))
65	64	com12 13	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ On → ((ℵ ‘A) ≈ (ℵ ‘x) → (ℵ ‘x) ≺ (ℵ ‘suc A)))
66	57, 65	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ ((Lim x ∧ A ∈ x) → ((ℵ ‘A) ≈ (ℵ ‘x) → (ℵ ‘x) ≺ (ℵ ‘suc A)))
67	53, 66	mtod 95	. . . . . 6 ⊢ ((Lim x ∧ A ∈ x) → ¬ (ℵ ‘A) ≈ (ℵ ‘x))
68	67	exp 291	. . . . 5 ⊢ (Lim x → (A ∈ x → ¬ (ℵ ‘A) ≈ (ℵ ‘x)))
69	46, 68	jcad 455	. . . 4 ⊢ (Lim x → (A ∈ x → ((ℵ ‘A) ≼ (ℵ ‘x) ∧ ¬ (ℵ ‘A) ≈ (ℵ ‘x))))
70		brsdom 3286	. . . 4 ⊢ ((ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘x) ↔ ((ℵ ‘A) ≼ (ℵ ‘x) ∧ ¬ (ℵ ‘A) ≈ (ℵ ‘x)))
71	69, 70	syl6ibr 186	. . 3 ⊢ (Lim x → (A ∈ x → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘x)))
72	71	a1d 14	. 2 ⊢ (Lim x → (∀y ∈ x (A ∈ y → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘y)) → (A ∈ x → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘x))))
73	4, 8, 12, 16, 18, 35, 72	tfinds 2401	1 ⊢ (B ∈ On → (A ∈ B → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘B)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ∪ciun 1994   class class class wbr 2054  Oncon0 2199  Lim wlim 2200  suc csuc 2201   ‘cfv 2422   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272   ≺ csdm 3273  ℵcale 3621

This theorem is referenced by:  alephord 3680

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-aleph 3624

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