Theorem alephordlem1 3677

Description: Lemma for alephordi 3679.

Assertion

Ref	Expression
alephordlem1	⊢ (A ∈ On → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc A))

Proof of Theorem alephordlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephon 3671	. . . 4 ⊢ (ℵ ‘A) ∈ On
2		numthcor 3601	. . . 4 ⊢ ((ℵ ‘A) ∈ On → ∃x ∈ On (ℵ ‘A) ≺ x)
3	1, 2	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ∃x ∈ On (ℵ ‘A) ≺ x
4		ax-17 925	. . . . 5 ⊢ (y ∈ (ℵ ‘A) → ∀x y ∈ (ℵ ‘A))
5		ax-17 925	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ≺ → ∀x y ∈ ≺ )
6		hbrab1 1310	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ {x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x} → ∀x y ∈ {x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x})
7	6	hbint 1975	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ∩{x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x} → ∀x y ∈ ∩{x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x})
8	4, 5, 7	hbbr 2095	. . . 4 ⊢ ((ℵ ‘A) ≺ ∩{x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x} → ∀x(ℵ ‘A) ≺ ∩{x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x})
9		breq2 2066	. . . 4 ⊢ (x = ∩{x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x} → ((ℵ ‘A) ≺ x ↔ (ℵ ‘A) ≺ ∩{x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x}))
10	8, 9	onminsb 2264	. . 3 ⊢ (∃x ∈ On (ℵ ‘A) ≺ x → (ℵ ‘A) ≺ ∩{x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x})
11	3, 10	ax-mp 6	. 2 ⊢ (ℵ ‘A) ≺ ∩{x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x}
12		alephsuc 3672	. . 3 ⊢ (A ∈ On → (ℵ ‘suc A) = ∩{x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x})
13	12	breq2d 2072	. 2 ⊢ (A ∈ On → ((ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc A) ↔ (ℵ ‘A) ≺ ∩{x ∈ On∣(ℵ ‘A) ≺ x}))
14	11, 13	mpbiri 169	1 ⊢ (A ∈ On → (ℵ ‘A) ≺ (ℵ ‘suc A))

Syntax hints:   → wi 2   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  {crab 1204  ∩cint 1965   class class class wbr 2054  Oncon0 2199  suc csuc 2201   ‘cfv 2422   ≺ csdm 3273  ℵcale 3621

This theorem is referenced by:  alephordi 3679  alephsucdom 3685  alephsuc3 4955

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-aleph 3624

metamath.org