Theorem alephordlem2 3678

Description: Lemma for alephordi 3679.

Assertion

Ref	Expression
alephordlem2	⊢ ((B ∈ V ∧ Lim B) → (A ∈ B → (ℵ ‘A) ≼ (ℵ ‘B)))

Proof of Theorem alephordlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephlim 3670	. . . 4 ⊢ ((B ∈ V ∧ Lim B) → (ℵ ‘B) = ∪x ∈ B (ℵ ‘x))
2	1	sseq2d 1528	. . 3 ⊢ ((B ∈ V ∧ Lim B) → ((ℵ ‘A) ⊆ (ℵ ‘B) ↔ (ℵ ‘A) ⊆ ∪x ∈ B (ℵ ‘x)))
3		fveq2 2832	. . . 4 ⊢ (x = A → (ℵ ‘x) = (ℵ ‘A))
4	3	ssiun2s 2020	. . 3 ⊢ (A ∈ B → (ℵ ‘A) ⊆ ∪x ∈ B (ℵ ‘x))
5	2, 4	syl5bir 184	. 2 ⊢ ((B ∈ V ∧ Lim B) → (A ∈ B → (ℵ ‘A) ⊆ (ℵ ‘B)))
6		alephon 3671	. . 3 ⊢ (ℵ ‘A) ∈ On
7		ssdomg 3311	. . 3 ⊢ ((ℵ ‘A) ∈ On → ((ℵ ‘A) ⊆ (ℵ ‘B) → (ℵ ‘A) ≼ (ℵ ‘B)))
8	6, 7	ax-mp 6	. 2 ⊢ ((ℵ ‘A) ⊆ (ℵ ‘B) → (ℵ ‘A) ≼ (ℵ ‘B))
9	5, 8	syl6 23	1 ⊢ ((B ∈ V ∧ Lim B) → (A ∈ B → (ℵ ‘A) ≼ (ℵ ‘B)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ∪ciun 1994   class class class wbr 2054  Oncon0 2199  Lim wlim 2200   ‘cfv 2422   ≼ cdom 3272  ℵcale 3621

This theorem is referenced by:  alephordi 3679

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-en 3274  df-dom 3275  df-aleph 3624

metamath.org