Theorem arch 4521

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26.

Assertion

Ref	Expression
arch	⊢ (A ∈ ℝ → ∃x ∈ ℕ A < x)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem arch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2065	. . 3 ⊢ (y = A → (y < x ↔ A < x))
2	1	birexdv 1220	. 2 ⊢ (y = A → (∃x ∈ ℕ y < x ↔ ∃x ∈ ℕ A < x))
3		nnunb 4520	. . . 4 ⊢ ¬ ∃y ∈ ℝ ∀x ∈ ℕ (x < y ∨ x = y)
4		ralnex 1209	. . . 4 ⊢ (∀y ∈ ℝ ¬ ∀x ∈ ℕ (x < y ∨ x = y) ↔ ¬ ∃y ∈ ℝ ∀x ∈ ℕ (x < y ∨ x = y))
5	3, 4	mpbir 165	. . 3 ⊢ ∀y ∈ ℝ ¬ ∀x ∈ ℕ (x < y ∨ x = y)
6		axlttri 4083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (y < x ↔ ¬ (y = x ∨ x < y)))
7		nnret 4427	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ℕ → x ∈ ℝ)
8	6, 7	sylan2 346	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℕ) → (y < x ↔ ¬ (y = x ∨ x < y)))
9		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = x ↔ x = y)
10	9	orbi1i 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y = x ∨ x < y) ↔ (x = y ∨ x < y))
11		orcom 209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x = y ∨ x < y) ↔ (x < y ∨ x = y))
12	10, 11	bitr 151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y = x ∨ x < y) ↔ (x < y ∨ x = y))
13	12	negbii 162	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (y = x ∨ x < y) ↔ ¬ (x < y ∨ x = y))
14	8, 13	syl6bb 414	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℕ) → (y < x ↔ ¬ (x < y ∨ x = y)))
15	14	biimprd 136	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℕ) → (¬ (x < y ∨ x = y) → y < x))
16	15	r19.22dva 1280	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℝ → (∃x ∈ ℕ ¬ (x < y ∨ x = y) → ∃x ∈ ℕ y < x))
17		rexnal 1210	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ ℕ ¬ (x < y ∨ x = y) ↔ ¬ ∀x ∈ ℕ (x < y ∨ x = y))
18	16, 17	syl5ibr 182	. . . 4 ⊢ (y ∈ ℝ → (¬ ∀x ∈ ℕ (x < y ∨ x = y) → ∃x ∈ ℕ y < x))
19	18	r19.20i 1253	. . 3 ⊢ (∀y ∈ ℝ ¬ ∀x ∈ ℕ (x < y ∨ x = y) → ∀y ∈ ℝ ∃x ∈ ℕ y < x)
20	5, 19	ax-mp 6	. 2 ⊢ ∀y ∈ ℝ ∃x ∈ ℕ y < x
21	2, 20	vtoclri 1393	1 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃x ∈ ℕ A < x)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   class class class wbr 2054  ℝcr 4027   < clt 4033  ℕcn 4093

This theorem is referenced by:  nnreclt 4522  btwnz 4613  projlem1 5193  projlem26 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-n 4423

metamath.org