Theorem ax0re 4063

Description: 0 is a real number. One of the 28 axioms for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax0re	⊢ 0 ∈ ℝ

Proof of Theorem ax0re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0 4035	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
2		0r 3983	. . 3 ⊢ 0R ∈ R
3		opelreal 4043	. . 3 ⊢ (⟨0R, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 0R ∈ R)
4	2, 3	mpbir 165	. 2 ⊢ ⟨0R, 0R⟩ ∈ ℝ
5	1, 4	eqeltr 1159	1 ⊢ 0 ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788  ℝcr 4027  0cc0 4028

This theorem is referenced by:  0cn 4100  renegclt 4172  redivclt 4276  addgt0 4323  addge0 4324  addgegt0 4325  ltaddpos 4327  add20 4329  mulge0 4335  ltmullem 4337  gt0ne0 4340  lesub0 4341  sqgt0 4343  sqge0 4344  gt0ne0t 4346  letrit 4347  ltadd1t 4348  leadd1t 4350  ltsubaddt 4353  lesubaddt 4355  lt2addt 4361  addge0t 4362  ltaddpost 4363  posdift 4365  ltnegt 4366  lenegt 4368  lt0neg1t 4370  lt0neg2t 4371  le0neg1t 4372  le0neg2t 4373  lesub0t 4374  mulge0t 4375  ltsqt 4376  elimge0 4382  ltplus1t 4383  recgt0i 4385  prodgt0i 4387  divge0 4392  recgt0t 4401  divgt0t 4402  divge0t 4403  ltdivt 4404  ltmuldivt 4406  lt2sq 4414  ltrect 4417  lerect 4418  ltdiv23t 4419  le2sqt 4420  halfpos 4421  nnge1t 4439  nngt0t 4441  0nnn 4443  nnrecgt0t 4447  nnleltp1t 4448  halfpost 4508  inelr 4527  crut 4531  rimul 4534  nn0ssre 4538  lt0nnn0 4549  nn0ge0t 4550  nn0ltp1let 4556  nn0ge0i 4559  nn0addge1 4560  elnnz 4572  0z 4573  elnn0z 4574  elnnz1 4581  halfnz 4586  nn0subt 4587  elnn0nn 4593  zltp1let 4597  seqlem2 4663  sqe11t 4705  lt2sqet 4706  sqege0t 4708  discrlem1 4713  discrlem3 4715  discrlem 4716  nnesq 4720  nn0opthlem2 4723  sqr0 4730  sqrlem1 4731  sqrlem2 4732  sqrlem5 4735  sqrlem6 4736  sqrlem8 4738  sqrlem11 4741  sqrlem12 4742  sqrlem15 4745  sqrlem19 4749  sqrlem24 4754  sqrgt0i 4755  sqrlem26 4756  sqrth 4757  sqrcl 4758  sqrge0 4760  sqrmul 4763  sqrclt 4767  sqrgt0t 4768  sqrge0t 4769  sqr00t 4770  sqr1 4771  sqr4 4772  sqr9 4773  sqsqrt 4776  sqr2irrlem1 4777  sqr2irrlem4 4780  sqr2irr 4782  sqr2re 4783  nthruz 4785  re0 4833  im0 4834  cj0 4835  absgt0 4842  absnid 4851  leabs 4852  absor 4853  absltt 4857  releabs 4858  absidt 4862  abs3lemt 4865  ruclem8 4892  ruclem39 4923  znnenlem 4929  znnen 4930  hiidge0t 5056  his6 5057  normlem6 5068  normlem7t 5072  normgt0t 5078  norm-it 5080  norm-ii 5086  normsub 5089  normpyct 5093  normpar2 5100  bcs 5101  hlimcaui 5141  occllem7 5186  projlem1 5193  projlem2 5194  projlem4 5196  projlem5 5197  projlem6 5198  projlem7 5199  projlem8 5200  projlem13 5205  projlem18 5210  projlem28 5220  pjthlem10 5234  pjthlem11 5235  osumlem3 5532  pjnormss 5638  pjnel 5665  stle0 5680  strlem1 5691  strlem3a 5693  strlem5 5696  jplem1 5701

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-enr 3960  df-nr 3961  df-0r 3965  df-0 4035  df-r 4038

metamath.org