Theorem ax1id 4077

Description: 1 is an identity element for multiplication. One of the 28 axioms for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax1id	⊢ (A ∈ ℂ → (A · 1) = A)

Proof of Theorem ax1id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 4034	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		opreq1 3006	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → (⟨x, y⟩ · 1) = (A · 1))
3		id 9	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → ⟨x, y⟩ = A)
4	2, 3	cleq12d 1115	. 2 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → ((⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩ ↔ (A · 1) = A))
5		1r 3984	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
6		0r 3983	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
7	5, 6	pm3.2i 234	. . . . 5 ⊢ (1R ∈ R ∧ 0R ∈ R)
8		mulcnsr 4048	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (1R ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (⟨x, y⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))), ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R))⟩)
9	7, 8	mpan2 519	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ∧ y ∈ R) → (⟨x, y⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))), ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R))⟩)
10		opeq12 1878	. . . . 5 ⊢ ((((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))) = x ∧ ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R)) = y) → ⟨((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))), ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R))⟩ = ⟨x, y⟩)
11		00sr 4002	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ R → (y ·R 0R) = 0R)
12	11	opreq2d 3013	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ R → (-1R ·R (y ·R 0R)) = (-1R ·R 0R))
13		m1r 3985	. . . . . . . . 9 ⊢ -1R ∈ R
14		00sr 4002	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 0R) = 0R)
15	13, 14	ax-mp 6	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R 0R) = 0R
16	12, 15	syl6eq 1140	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ R → (-1R ·R (y ·R 0R)) = 0R)
17	16	opreq2d 3013	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ R → ((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))) = ((x ·R 1R) +R 0R))
18		1idsr 4001	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ R → (x ·R 1R) = x)
19	18	opreq1d 3012	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ R → ((x ·R 1R) +R 0R) = (x +R 0R))
20		0idsr 4000	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ R → (x +R 0R) = x)
21	19, 20	eqtrd 1128	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ R → ((x ·R 1R) +R 0R) = x)
22	17, 21	sylan9eqr 1145	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ∧ y ∈ R) → ((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))) = x)
23		00sr 4002	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ R → (x ·R 0R) = 0R)
24	23	opreq2d 3013	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ R → ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R)) = ((y ·R 1R) +R 0R))
25		1idsr 4001	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ R → (y ·R 1R) = y)
26	25	opreq1d 3012	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ R → ((y ·R 1R) +R 0R) = (y +R 0R))
27		0idsr 4000	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ R → (y +R 0R) = y)
28	26, 27	eqtrd 1128	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ R → ((y ·R 1R) +R 0R) = y)
29	24, 28	sylan9eq 1144	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ∧ y ∈ R) → ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R)) = y)
30	10, 22, 29	sylanc 361	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ∧ y ∈ R) → ⟨((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))), ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R))⟩ = ⟨x, y⟩)
31	9, 30	eqtrd 1128	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ∧ y ∈ R) → (⟨x, y⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨x, y⟩)
32		df-1 4036	. . . 4 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
33	32	opreq2i 3010	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ · 1) = (⟨x, y⟩ · ⟨1R, 0R⟩)
34	31, 33	syl5eq 1136	. 2 ⊢ ((x ∈ R ∧ y ∈ R) → (⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩)
35	1, 4, 34	optocl 2469	1 ⊢ (A ∈ ℂ → (A · 1) = A)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788  1_Rc1r 3789  -1_Rcm1r 3790   +_R cplr 3791   ·_R cmr 3792  ℂcc 4026  1c1 4029   · cmulc 4032

This theorem is referenced by:  mulid1 4114  mulid2t 4175  divadddivt 4264  nnmulclt 4437

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-1 4036  df-mul 4040

metamath.org