Theorem ax1re 4064

Description: 1 is a real number. One of the 28 axioms for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax1re	⊢ 1 ∈ ℝ

Proof of Theorem ax1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1 4036	. 2 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
2		1r 3984	. . 3 ⊢ 1R ∈ R
3		opelreal 4043	. . 3 ⊢ (⟨1R, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 1R ∈ R)
4	2, 3	mpbir 165	. 2 ⊢ ⟨1R, 0R⟩ ∈ ℝ
5	1, 4	eqeltr 1159	1 ⊢ 1 ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788  1_Rc1r 3789  ℝcr 4027  1c1 4029

This theorem is referenced by:  1cn 4101  redivclz 4275  lt01 4377  eqneg 4378  ltplus1t 4383  recgt0i 4385  recgt0 4386  prodgt0i 4387  prodgt0 4388  divgt0lem 4389  divgt0 4390  ltmul1i 4393  ltmul1 4394  ltdivi 4398  ltdiv 4399  ltreci 4409  ltrec 4410  lerec 4411  ltdiv23 4413  halfpos 4421  posex 4422  nnssre 4425  nnge1t 4439  nngt1ne1t 4440  nngt0t 4441  lt1nnn 4442  nnrecgt0t 4447  nnleltp1t 4448  nnltp1let 4449  nnsub 4450  nnaddm1clt 4452  2re 4470  3re 4472  4re 4473  5re 4474  6re 4475  7re 4476  8re 4477  9re 4478  2pos 4479  3pos 4480  4pos 4481  5pos 4482  6pos 4483  7pos 4484  8pos 4485  9pos 4486  sup2 4510  nnunb 4520  nnreclt 4522  inelr 4527  lt0nnn0 4549  nn0ltp1let 4556  nn0leltp1t 4557  nn0ltlem1 4558  elnnz1 4581  halfnz 4586  elnn0nn 4593  zltp1let 4597  zleltp1t 4598  peano2uz 4602  uzind 4603  uzwo 4605  nnwoOLD 4608  nn0ind 4612  zbtwnre 4619  rebtwnz 4620  flgzt 4626  qbtwnre 4650  seqlem2 4663  discrlem2 4714  discrlem3 4715  nnlesq 4718  nneo 4719  nnesq 4720  sqrlem1 4731  sqrlem2 4732  sqrlem3 4733  sqrlem6 4736  sqrlem8 4738  sqrlem9 4739  sqrlem10 4740  sqrlem11 4741  sqrlem16 4746  sqrlem19 4749  sqrlem20 4750  sqrlem21 4751  sqrlem22 4752  sqrth 4757  sqrcl 4758  sqrgt0 4759  sqr1 4771  sqr2irrlem1 4777  nthruz 4785  ruclem8 4892  ruclem13 4897  ruclem25 4909  normlem8 5071  normlem7t 5072  norm-ii 5086  normsub 5089  bcs 5101  projlem1 5193  projlem2 5194  projlem3 5195  projlem4 5196  projlem5 5197  projlem6 5198  projlem14 5206  projlem15 5207  projlem26 5218  projlem28 5220  projlem29 5221  pjthlem2 5226  stge1 5679  stles 5682  stadd 5687  stadd3 5689  strlem1 5691  strlem3a 5693  strlem5 5696  strlem6 5697  jplem1 5701

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-enr 3960  df-nr 3961  df-0r 3965  df-1r 3966  df-1 4036  df-r 4038

metamath.org