Theorem axacndlem2 3754

Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axacndlem2	⊢ (∀x x = z → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ∧ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ∧ z ∈ w) ∧ (y ∈ w ∧ w ∈ x)) ↔ y = w)))

Proof of Theorem axacndlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq5 824	. . 3 ⊢ (∀x x = z → ∀y∀x x = z)
2		eq5 824	. . . 4 ⊢ (∀x x = z → ∀z∀x x = z)
3		nd1 3732	. . . . . 6 ⊢ (∀x x = z → ¬ ∀x z ∈ w)
4	3	pm2.21d 74	. . . . 5 ⊢ (∀x x = z → (∀x z ∈ w → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ∧ z ∈ w) ∧ (y ∈ w ∧ w ∈ x)) ↔ y = w)))
5		pm3.27 260	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ z ∧ z ∈ w) → z ∈ w)
6	5	19.20i 691	. . . . 5 ⊢ (∀x(y ∈ z ∧ z ∈ w) → ∀x z ∈ w)
7	4, 6	syl5 22	. . . 4 ⊢ (∀x x = z → (∀x(y ∈ z ∧ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ∧ z ∈ w) ∧ (y ∈ w ∧ w ∈ x)) ↔ y = w)))
8	2, 7	19.21ai 740	. . 3 ⊢ (∀x x = z → ∀z(∀x(y ∈ z ∧ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ∧ z ∈ w) ∧ (y ∈ w ∧ w ∈ x)) ↔ y = w)))
9	1, 8	19.21ai 740	. 2 ⊢ (∀x x = z → ∀y∀z(∀x(y ∈ z ∧ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ∧ z ∈ w) ∧ (y ∈ w ∧ w ∈ x)) ↔ y = w)))
10		19.8a 712	. 2 ⊢ (∀y∀z(∀x(y ∈ z ∧ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ∧ z ∈ w) ∧ (y ∈ w ∧ w ∈ x)) ↔ y = w)) → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ∧ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ∧ z ∈ w) ∧ (y ∈ w ∧ w ∈ x)) ↔ y = w)))
11	9, 10	syl 12	1 ⊢ (∀x x = z → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ∧ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ∧ z ∈ w) ∧ (y ∈ w ∧ w ∈ x)) ↔ y = w)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem is referenced by:  axacndlem4 3756  axacnd 3758

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

metamath.org