Theorem axaddcl 4066

Description: Closure law for addition of complex numbers. One of the 28 axioms for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axaddcl	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A + B) ∈ ℂ)

Proof of Theorem axaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 4034	. . 3 ⊢ ℂ = (R × R)
2		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → (⟨x, y⟩ + ⟨z, w⟩) = (A + ⟨z, w⟩))
3	2	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → ((⟨x, y⟩ + ⟨z, w⟩) ∈ (R × R) ↔ (A + ⟨z, w⟩) ∈ (R × R)))
4		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ (⟨z, w⟩ = B → (A + ⟨z, w⟩) = (A + B))
5	4	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ (⟨z, w⟩ = B → ((A + ⟨z, w⟩) ∈ (R × R) ↔ (A + B) ∈ (R × R)))
6		addcnsr 4047	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → (⟨x, y⟩ + ⟨z, w⟩) = ⟨(x +R z), (y +R w)⟩)
7		addclsr 3986	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ R ∧ z ∈ R) → (x +R z) ∈ R)
8		addclsr 3986	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ R ∧ w ∈ R) → (y +R w) ∈ R)
9	7, 8	anim12i 268	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ R ∧ z ∈ R) ∧ (y ∈ R ∧ w ∈ R)) → ((x +R z) ∈ R ∧ (y +R w) ∈ R))
10	9	an4s 390	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → ((x +R z) ∈ R ∧ (y +R w) ∈ R))
11		opelxpi 2455	. . . . 5 ⊢ (((x +R z) ∈ R ∧ (y +R w) ∈ R) → ⟨(x +R z), (y +R w)⟩ ∈ (R × R))
12	10, 11	syl 12	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → ⟨(x +R z), (y +R w)⟩ ∈ (R × R))
13	6, 12	eqeltrd 1163	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → (⟨x, y⟩ + ⟨z, w⟩) ∈ (R × R))
14	1, 3, 5, 13	2optocl 2470	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A + B) ∈ (R × R))
15	1	eleq2i 1153	. 2 ⊢ ((A + B) ∈ ℂ ↔ (A + B) ∈ (R × R))
16	14, 15	sylibr 175	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A + B) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   × cxp 2408  (class class class)co 3001  Rcnr 3787   +_R cplr 3791  ℂcc 4026   + caddc 4031

This theorem is referenced by:  adddirt 4103  addcl 4104  negeu 4124  add4t 4127  addsubasst 4150  uzind 4603  golem1 5704

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-c 4034  df-plus 4039

metamath.org