Theorem axdistr 4074

Description: Distributive law for complex numbers. One of the 28 axioms for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axdistr	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → (A · (B + C)) = ((A · B) + (A · C)))

�

Proof of Theorem axdistr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 4056	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡E)
2		addcnsrec 4057	. 2 ⊢ (((z ∈ R ∧ w ∈ R) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ R)) → ([⟨z, w⟩]◡E + [⟨v, u⟩]◡E) = [⟨(z +R v), (w +R u)⟩]◡E)
3		mulcnsrec 4058	. 2 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ ((z +R v) ∈ R ∧ (w +R u) ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E · [⟨(z +R v), (w +R u)⟩]◡E) = [⟨((x ·R (z +R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w +R u)))), ((y ·R (z +R v)) +R (x ·R (w +R u)))⟩]◡E)
4		mulcnsrec 4058	. 2 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E · [⟨z, w⟩]◡E) = [⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩]◡E)
5		mulcnsrec 4058	. 2 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E · [⟨v, u⟩]◡E) = [⟨((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))), ((y ·R v) +R (x ·R u))⟩]◡E)
6		addcnsrec 4057	. 2 ⊢ (((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R ∧ ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R) ∧ (((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))) ∈ R ∧ ((y ·R v) +R (x ·R u)) ∈ R)) → ([⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩]◡E + [⟨((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))), ((y ·R v) +R (x ·R u))⟩]◡E) = [⟨(((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) +R ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u)))), (((y ·R z) +R (x ·R w)) +R ((y ·R v) +R (x ·R u)))⟩]◡E)
7		addclsr 3986	. . . 4 ⊢ ((z ∈ R ∧ v ∈ R) → (z +R v) ∈ R)
8		addclsr 3986	. . . 4 ⊢ ((w ∈ R ∧ u ∈ R) → (w +R u) ∈ R)
9	7, 8	anim12i 268	. . 3 ⊢ (((z ∈ R ∧ v ∈ R) ∧ (w ∈ R ∧ u ∈ R)) → ((z +R v) ∈ R ∧ (w +R u) ∈ R))
10	9	an4s 390	. 2 ⊢ (((z ∈ R ∧ w ∈ R) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ R)) → ((z +R v) ∈ R ∧ (w +R u) ∈ R))
11		addclsr 3986	. . . . 5 ⊢ (((x ·R z) ∈ R ∧ (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
12		mulclsr 3987	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ∧ z ∈ R) → (x ·R z) ∈ R)
13		mulclsr 3987	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ∧ w ∈ R) → (y ·R w) ∈ R)
14		m1r 3985	. . . . . . 7 ⊢ -1R ∈ R
15		mulclsr 3987	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (y ·R w) ∈ R) → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
16	14, 15	mpan 518	. . . . . 6 ⊢ ((y ·R w) ∈ R → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
17	13, 16	syl 12	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ R ∧ w ∈ R) → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
18	11, 12, 17	syl2an 349	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ∧ z ∈ R) ∧ (y ∈ R ∧ w ∈ R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
19	18	an4s 390	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
20		addclsr 3986	. . . . . 6 ⊢ (((y ·R z) ∈ R ∧ (x ·R w) ∈ R) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
21		mulclsr 3987	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ∧ z ∈ R) → (y ·R z) ∈ R)
22		mulclsr 3987	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ R ∧ w ∈ R) → (x ·R w) ∈ R)
23	20, 21, 22	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ R ∧ z ∈ R) ∧ (x ∈ R ∧ w ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
24	23	ancoms 334	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ∧ w ∈ R) ∧ (y ∈ R ∧ z ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
25	24	an42s 391	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
26	19, 25	jca 236	. 2 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R ∧ ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R))
27		addclsr 3986	. . . . 5 ⊢ (((x ·R v) ∈ R ∧ (-1R ·R (y ·R u)) ∈ R) → ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))) ∈ R)
28		mulclsr 3987	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ∧ v ∈ R) → (x ·R v) ∈ R)
29		mulclsr 3987	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ∧ u ∈ R) → (y ·R u) ∈ R)
30		mulclsr 3987	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (y ·R u) ∈ R) → (-1R ·R (y ·R u)) ∈ R)
31	14, 30	mpan 518	. . . . . 6 ⊢ ((y ·R u) ∈ R → (-1R ·R (y ·R u)) ∈ R)
32	29, 31	syl 12	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ R ∧ u ∈ R) → (-1R ·R (y ·R u)) ∈ R)
33	27, 28, 32	syl2an 349	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ∧ v ∈ R) ∧ (y ∈ R ∧ u ∈ R)) → ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))) ∈ R)
34	33	an4s 390	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ R)) → ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))) ∈ R)
35		addclsr 3986	. . . . . 6 ⊢ (((y ·R v) ∈ R ∧ (x ·R u) ∈ R) → ((y ·R v) +R (x ·R u)) ∈ R)
36		mulclsr 3987	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ∧ v ∈ R) → (y ·R v) ∈ R)
37		mulclsr 3987	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ R ∧ u ∈ R) → (x ·R u) ∈ R)
38	35, 36, 37	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ R ∧ v ∈ R) ∧ (x ∈ R ∧ u ∈ R)) → ((y ·R v) +R (x ·R u)) ∈ R)
39	38	ancoms 334	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ∧ u ∈ R) ∧ (y ∈ R ∧ v ∈ R)) → ((y ·R v) +R (x ·R u)) ∈ R)
40	39	an42s 391	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ R)) → ((y ·R v) +R (x ·R u)) ∈ R)
41	34, 40	jca 236	. 2 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ R)) → (((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))) ∈ R ∧ ((y ·R v) +R (x ·R u)) ∈ R))
42		visset 1350	. . . . 5 ⊢ z ∈ V
43		visset 1350	. . . . 5 ⊢ v ∈ V
44	42, 43	distrsr 3994	. . . 4 ⊢ (x ·R (z +R v)) = ((x ·R z) +R (x ·R v))
45		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ w ∈ V
46		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ u ∈ V
47	45, 46	distrsr 3994	. . . . . 6 ⊢ (y ·R (w +R u)) = ((y ·R w) +R (y ·R u))
48	47	opreq2i 3010	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (y ·R (w +R u))) = (-1R ·R ((y ·R w) +R (y ·R u)))
49		oprex 3018	. . . . . 6 ⊢ (y ·R w) ∈ V
50		oprex 3018	. . . . . 6 ⊢ (y ·R u) ∈ V
51	49, 50	distrsr 3994	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R ((y ·R w) +R (y ·R u))) = ((-1R ·R (y ·R w)) +R (-1R ·R (y ·R u)))
52	48, 51	eqtr 1119	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R (w +R u))) = ((-1R ·R (y ·R w)) +R (-1R ·R (y ·R u)))
53	44, 52	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ ((x ·R (z +R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w +R u)))) = (((x ·R z) +R (x ·R v)) +R ((-1R ·R (y ·R w)) +R (-1R ·R (y ·R u))))
54		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (x ·< UB>R z) ∈ V
55		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (x ·R v) ∈ V
56		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R w)) ∈ V
57		visset 1350	. . . . 5 ⊢ f ∈ V
58		visset 1350	. . . . 5 ⊢ g ∈ V
59	57, 58	addcomsr 3990	. . . 4 ⊢ (f +R g) = (g +R f)
60		visset 1350	. . . . 5 ⊢ h ∈ V
61	58, 60	addasssr 3991	. . . 4 ⊢ ((f +R g) +R h) = (f +R (g +R h))
62		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R u)) ∈ V
63	54, 55, 56, 59, 61, 62	caopr4 3078	. . 3 ⊢ (((x ·R z) +R (x ·R v)) +R ((-1R ·R (y ·R w)) +R (-1R ·R (y ·R u)))) = (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) +R ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))))
64	53, 63	eqtr 1119	. 2 ⊢ ((x ·R (z +R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w +R u)))) = (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) +R ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))))
65	42, 43	distrsr 3994	. . . 4 ⊢ (y ·R (z +R v)) = ((y ·R z) +R (y ·R v))
66	45, 46	distrsr 3994	. . . 4 ⊢ (x ·R (w +R u)) = ((x ·R w) +R (x ·R u))
67	65, 66	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ ((y ·R (z +R v)) +R (x ·R (w +R u))) = (((y ·R z) +R (y ·R v)) +R ((x ·R w) +R (x ·R u)))
68		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (y ·R z) ∈ V
69		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (y ·R v) ∈ V
70		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (x ·R w) ∈ V
71		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (x ·R u) ∈ V
72	68, 69, 70, 59, 61, 71	caopr4 3078	. . 3 ⊢ (((y ·R z) +R (y ·R v)) +R ((x ·R w) +R (x ·R u))) = (((y ·R z) +R (x ·R w)) +R ((y ·R v) +R (x ·R u)))
73	67, 72	eqtr 1119	. 2 ⊢ ((y ·R (z +R v)) +R (x ·R (w +R u))) = (((y ·R z) +R (x ·R w)) +R ((y ·R v) +R (x ·R u)))
74	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 26, 41, 64, 73	ecoprdi 3257	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → (A · (B + C)) = ((A · B) + (A · C)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Ecep 2056  ^◡ccnv 2409  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  -1_Rcm1r 3790   +_R cplr 3791   ·_R cmr 3792  ℂcc 4026   + caddc 4031   · cmulc 4032

This theorem is referenced by:  adddirt 4103  adddi 4110  nnmulclt 4437

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-m1r 3967  df-c 4034  df-plus 4039  df-mul 4040

metamath.org