Theorem axextnd 3737

Description: A version of the Axiom of Extensionality with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axextnd	⊢ ∃x((x ∈ y ↔ x ∈ z) → y = z)

Proof of Theorem axextnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq6 826	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀x x = y → ∀x ¬ ∀x x = y)
2		eq6 826	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀x x = z → ∀x ¬ ∀x x = z)
3	1, 2	hban 704	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → ∀x(¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z))
4		ddeel2 1004	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀x x = y → (w ∈ y → ∀x w ∈ y))
5	4	adantr 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (w ∈ y → ∀x w ∈ y))
6		ddeel2 1004	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀x x = z → (w ∈ z → ∀x w ∈ z))
7	6	adantl 305	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (w ∈ z → ∀x w ∈ z))
8	3, 5, 7	hbbid 789	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → ((w ∈ y ↔ w ∈ z) → ∀x(w ∈ y ↔ w ∈ z)))
9		a13b 819	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = x → (w ∈ y ↔ x ∈ y))
10		a13b 819	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = x → (w ∈ z ↔ x ∈ z))
11	9, 10	bibi12d 477	. . . . . . . 8 ⊢ (w = x → ((w ∈ y ↔ w ∈ z) ↔ (x ∈ y ↔ x ∈ z)))
12	11	a1i 7	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (w = x → ((w ∈ y ↔ w ∈ z) ↔ (x ∈ y ↔ x ∈ z))))
13	3, 8, 12	cbvald 977	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (∀w(w ∈ y ↔ w ∈ z) ↔ ∀x(x ∈ y ↔ x ∈ z)))
14		zfext2 1087	. . . . . 6 ⊢ (∀w(w ∈ y ↔ w ∈ z) → y = z)
15	13, 14	syl6bir 188	. . . . 5 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (∀x(x ∈ y ↔ x ∈ z) → y = z))
16		19.8a 712	. . . . 5 ⊢ (y = z → ∃x y = z)
17	15, 16	syl6 23	. . . 4 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (∀x(x ∈ y ↔ x ∈ z) → ∃x y = z))
18	17	exp 291	. . 3 ⊢ (¬ ∀x x = y → (¬ ∀x x = z → (∀x(x ∈ y ↔ x ∈ z) → ∃x y = z)))
19		a9e 809	. . . . 5 ⊢ ∃x x = z
20		ax-8 798	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → (x = z → y = z))
21	20	a4s 682	. . . . . 6 ⊢ (∀x x = y → (x = z → y = z))
22	21	del42 841	. . . . 5 ⊢ (∀x x = y → (∃x x = z → ∃x y = z))
23	19, 22	mpi 44	. . . 4 ⊢ (∀x x = y → ∃x y = z)
24	23	a1d 14	. . 3 ⊢ (∀x x = y → (∀x(x ∈ y ↔ x ∈ z) → ∃x y = z))
25		a9e 809	. . . . 5 ⊢ ∃x x = y
26		ax-8 798	. . . . . . . 8 ⊢ (x = z → (x = y → z = y))
27		eqcom 811	. . . . . . . 8 ⊢ (z = y → y = z)
28	26, 27	syl6 23	. . . . . . 7 ⊢ (x = z → (x = y → y = z))
29	28	a4s 682	. . . . . 6 ⊢ (∀x x = z → (x = y → y = z))
30	29	del42 841	. . . . 5 ⊢ (∀x x = z → (∃x x = y → ∃x y = z))
31	25, 30	mpi 44	. . . 4 ⊢ (∀x x = z → ∃x y = z)
32	31	a1d 14	. . 3 ⊢ (∀x x = z → (∀x(x ∈ y ↔ x ∈ z) → ∃x y = z))
33	18, 24, 32	pm2.61ii 113	. 2 ⊢ (∀x(x ∈ y ↔ x ∈ z) → ∃x y = z)
34	33	19.35ri 756	1 ⊢ ∃x((x ∈ y ↔ x ∈ z) → y = z)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem is referenced by:  zfcndext 3759

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853

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