Theorem axi2m1 4082

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). One of the 28 axioms for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	⊢ ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 3983	. . . . . . 7 ⊢ 0R ∈ R
2		1r 3984	. . . . . . 7 ⊢ 1R ∈ R
3	1, 2	pm3.2i 234	. . . . . 6 ⊢ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R)
4		mulcnsr 4048	. . . . . 6 ⊢ (((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
5	3, 3, 4	mp2an 520	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
6		00sr 4002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
7	1, 6	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
8		1idsr 4001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 1R) = 1R)
9	2, 8	ax-mp 6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1R ·R 1R) = 1R
10	9	opreq2i 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
11		m1r 3985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1R ∈ R
12		1idsr 4001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 1R) = -1R)
13	11, 12	ax-mp 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ·R 1R) = -1R
14	10, 13	eqtr 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
15	7, 14	opreq12i 3011	. . . . . . . 8 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
16	1	elisseti 1355	. . . . . . . . 9 ⊢ 0R ∈ V
17	11	elisseti 1355	. . . . . . . . 9 ⊢ -1R ∈ V
18	16, 17	addcomsr 3990	. . . . . . . 8 ⊢ (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
19		0idsr 4000	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
20	11, 19	ax-mp 6	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
21	15, 18, 20	3eqtr 1123	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
22		00sr 4002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 0R) = 0R)
23	2, 22	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 ⊢ (1R ·R 0R) = 0R
24		1idsr 4001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 1R) = 0R)
25	1, 24	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ·R 1R) = 0R
26	23, 25	opreq12i 3011	. . . . . . . 8 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
27		0idsr 4000	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
28	1, 27	ax-mp 6	. . . . . . . 8 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
29	26, 28	eqtr 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
30	21, 29	pm3.2i 234	. . . . . 6 ⊢ (((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R ∧ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R)
31		oprex 3018	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) ∈ V
32		oprex 3018	. . . . . . 7 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) ∈ V
33	31, 32, 16	opth 1898	. . . . . 6 ⊢ (⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R⟩ ↔ (((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R ∧ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R))
34	30, 33	mpbir 165	. . . . 5 ⊢ ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R⟩
35	5, 34	eqtr 1119	. . . 4 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R⟩
36	35	opreq1i 3009	. . 3 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
37		addresr 4050	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
38	11, 2, 37	mp2an 520	. . 3 ⊢ (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩
39		m1p1sr 3995	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
40		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (-1R +R 1R) ∈ V
41	40	eqresr 4049	. . . 4 ⊢ (⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩ ↔ (-1R +R 1R) = 0R)
42	39, 41	mpbir 165	. . 3 ⊢ ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
43	36, 38, 42	3eqtr 1123	. 2 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R⟩
44		df-i 4037	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
45	44, 44	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
46		df-1 4036	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
47	45, 46	opreq12i 3011	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
48		df-0 4035	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
49	43, 47, 48	3eqtr4 1126	1 ⊢ ((i · i) + 1) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788  1_Rc1r 3789  -1_Rcm1r 3790   +_R cplr 3791   ·_R cmr 3792  0cc0 4028  1c1 4029  ici 4030   + caddc 4031   · cmulc 4032

This theorem is referenced by:  ine0 4524  isqm1 4525  inelr 4527

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-plus 4039  df-mul 4040

metamath.org