Theorem axinf 1084

Description: Axiom of Infinity expressed with fewest number of different variables.

Assertion

Ref	Expression
axinf	⊢ ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))

Distinct variable group(s):   x,y,z

Proof of Theorem axinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-inf 1079	. 2 ⊢ ∃x(y ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)))
2		a13b 819	. . . . . 6 ⊢ (w = y → (w ∈ x ↔ y ∈ x))
3		a13b 819	. . . . . . . 8 ⊢ (w = y → (w ∈ z ↔ y ∈ z))
4	3	anbi1d 469	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → ((w ∈ z ∧ z ∈ x) ↔ (y ∈ z ∧ z ∈ x)))
5	4	biexdv 936	. . . . . 6 ⊢ (w = y → (∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x) ↔ ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))
6	2, 5	imbi12d 474	. . . . 5 ⊢ (w = y → ((w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)) ↔ (y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))
7	6	cbvalv 972	. . . 4 ⊢ (∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)) ↔ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))
8	7	anbi2i 367	. . 3 ⊢ ((y ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x))) ↔ (y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))
9	8	biex 733	. 2 ⊢ (∃x(y ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x))) ↔ ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))
10	1, 9	mpbi 164	1 ⊢ ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem is referenced by:  inf4 3473  axinfndlem1 3751

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-12 802  ax-13 804  ax-17 925  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679

metamath.org