Theorem axinfnd 3752

Description: A version of the Axiom of Infinity with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axinfnd	⊢ ∃x(y ∈ z → (y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))

Proof of Theorem axinfnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axinfndlem1 3751	. . . . . . 7 ⊢ (∀x w ∈ z → ∃x(w ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x))))
2	1	ax-gen 677	. . . . . 6 ⊢ ∀w(∀x w ∈ z → ∃x(w ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x))))
3		eq6 826	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀y y = x → ∀y ¬ ∀y y = x)
4		eq6 826	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀y y = z → ∀y ¬ ∀y y = z)
5	3, 4	hban 704	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ∀y(¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z))
6		eq6 826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∀y y = z → ∀x ¬ ∀y y = z)
7		ddeel2 1004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∀y y = z → (w ∈ z → ∀y w ∈ z))
8	6, 7	hbald 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀y y = z → (∀x w ∈ z → ∀y∀x w ∈ z))
9	8	adantl 305	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∀x w ∈ z → ∀y∀x w ∈ z))
10		eq6 826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∀y y = x → ∀x ¬ ∀y y = x)
11	10, 6	hban 704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ∀x(¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z))
12		ddeel2 1004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀y y = x → (w ∈ x → ∀y w ∈ x))
13	12	adantr 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (w ∈ x → ∀y w ∈ x))
14		ax-17 925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ∀w(¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z))
15		eq6 826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ ∀y y = x → ∀z ¬ ∀y y = x)
16		eq6 826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ ∀y y = z → ∀z ¬ ∀y y = z)
17	15, 16	hban 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ∀z(¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z))
18	7	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (w ∈ z → ∀y w ∈ z))
19		ax15 1006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ ∀y y = z → (¬ ∀y y = x → (z ∈ x → ∀y z ∈ x)))
20	19	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ ∀y y = x → (¬ ∀y y = z → (z ∈ x → ∀y z ∈ x)))
21	20	imp 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (z ∈ x → ∀y z ∈ x))
22	18, 21	hband 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ((w ∈ z ∧ z ∈ x) → ∀y(w ∈ z ∧ z ∈ x)))
23	17, 22	hbexd 791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x) → ∀y∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)))
24	5, 13, 23	hbimd 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ((w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)) → ∀y(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x))))
25	14, 24	hbald 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)) → ∀y∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x))))
26	13, 25	hband 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ((w ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x))) → ∀y(w ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)))))
27	11, 26	hbexd 791	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∃x(w ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x))) → ∀y∃x(w ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)))))
28	5, 9, 27	hbimd 787	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ((∀x w ∈ z → ∃x(w ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)))) → ∀y(∀x w ∈ z → ∃x(w ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x))))))
29		nd5 3736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀y y = x → (w = y → ∀x w = y))
30	29	adantr 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (w = y → ∀x w = y))
31	30	imdistani 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ w = y) → ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ ∀x w = y))
32		hba1 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀x w = y → ∀x∀x w = y)
33		a13b 819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w = y → (w ∈ z ↔ y ∈ z))
34	33	a4s 682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀x w = y → (w ∈ z ↔ y ∈ z))
35	32, 34	biald 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀x w = y → (∀x w ∈ z ↔ ∀x y ∈ z))
36	35	adantl 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ ∀x w = y) → (∀x w ∈ z ↔ ∀x y ∈ z))
37	11, 32	hban 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ ∀x w = y) → ∀x((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ ∀x w = y))
38		a13b 819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w = y → (w ∈ x ↔ y ∈ x))
39	38	a4s 682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀x w = y → (w ∈ x ↔ y ∈ x))
40	38	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ ∀y y = z ∧ w = y) → (w ∈ x ↔ y ∈ x))
41		nd5 3736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ ∀y y = z → (w = y → ∀z w = y))
42	41	imdistani 340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ ∀y y = z ∧ w = y) → (¬ ∀y y = z ∧ ∀z w = y))
43		hba1 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀z w = y → ∀z∀z w = y)
44	33	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (w = y → ((w ∈ z ∧ z ∈ x) ↔ (y ∈ z ∧ z ∈ x)))
45	44	a4s 682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀z w = y → ((w ∈ z ∧ z ∈ x) ↔ (y ∈ z ∧ z ∈ x)))
46	43, 45	biexd 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀z w = y → (∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x) ↔ ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))
47	46	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ ∀y y = z ∧ ∀z w = y) → (∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x) ↔ ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))
48	42, 47	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ ∀y y = z ∧ w = y) → (∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x) ↔ ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))
49	40, 48	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ ∀y y = z ∧ w = y) → ((w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)) ↔ (y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))
50	49	adantll 309	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ w = y) → ((w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)) ↔ (y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))
51	50	exp 291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (w = y → ((w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)) ↔ (y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))))
52	5, 24, 51	cbvald 977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)) ↔ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))
53	39, 52	bi2anan9r 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ ∀x w = y) → ((w ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x))) ↔ (y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))))
54	37, 53	biexd 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ ∀x w = y) → (∃x(w ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x))) ↔ ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))))
55	36, 54	imbi12d 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ ∀x w = y) → ((∀x w ∈ z → ∃x(w ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)))) ↔ (∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))))
56	31, 55	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ w = y) → ((∀x w ∈ z → ∃x(w ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)))) ↔ (∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))))
57	56	exp 291	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (w = y → ((∀x w ∈ z → ∃x(w ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)))) ↔ (∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))))))
58	5, 28, 57	cbvald 977	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∀w(∀x w ∈ z → ∃x(w ∈ x ∧ ∀w(w ∈ x → ∃z(w ∈ z ∧ z ∈ x)))) ↔ ∀y(∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))))
59	2, 58	mpbii 168	. . . . 5 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ∀y(∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))))
60	59	19.21bi 742	. . . 4 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))))
61	60	exp 291	. . 3 ⊢ (¬ ∀y y = x → (¬ ∀y y = z → (∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))))
62		nd1 3732	. . . . 5 ⊢ (∀x x = y → ¬ ∀x y ∈ z)
63	62	eq4s 822	. . . 4 ⊢ (∀y y = x → ¬ ∀x y ∈ z)
64	63	pm2.21d 74	. . 3 ⊢ (∀y y = x → (∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))))
65		nd3 3734	. . . 4 ⊢ (∀y y = z → ¬ ∀x y ∈ z)
66	65	pm2.21d 74	. . 3 ⊢ (∀y y = z → (∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))))
67	61, 64, 66	pm2.61ii 113	. 2 ⊢ (∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))
68	67	19.35ri 756	1 ⊢ ∃x(y ∈ z → (y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem is referenced by:  zfcndinf 3764

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

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