Theorem axinfndlem1 3751

Description: Lemma for the Axiom of Infinity with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axinfndlem1	⊢ (∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))

Distinct variable group(s):   y,z

Proof of Theorem axinfndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axinf 1084	. . . . 5 ⊢ ∃w(y ∈ w ∧ ∀y(y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w)))
2	1	a1i 7	. . . 4 ⊢ (∀w y ∈ z → ∃w(y ∈ w ∧ ∀y(y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w))))
3		eq6 826	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀x x = y → ∀x ¬ ∀x x = y)
4		eq6 826	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀x x = z → ∀x ¬ ∀x x = z)
5	3, 4	hban 704	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → ∀x(¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z))
6		ax15 1006	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀x x = y → (¬ ∀x x = z → (y ∈ z → ∀x y ∈ z)))
7	6	imp 277	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (y ∈ z → ∀x y ∈ z))
8		pm4.2i 149	. . . . . . 7 ⊢ (w = x → (y ∈ z ↔ y ∈ z))
9	8	a1i 7	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (w = x → (y ∈ z ↔ y ∈ z)))
10	5, 7, 9	cbvald 977	. . . . 5 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (∀w y ∈ z ↔ ∀x y ∈ z))
11		ddeel1 1003	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀x x = y → (y ∈ w → ∀x y ∈ w))
12	11	adantr 306	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (y ∈ w → ∀x y ∈ w))
13		eq6 826	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀x x = y → ∀y ¬ ∀x x = y)
14		eq6 826	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀x x = z → ∀y ¬ ∀x x = z)
15	13, 14	hban 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → ∀y(¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z))
16		eq6 826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀x x = y → ∀z ¬ ∀x x = y)
17		eq6 826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀x x = z → ∀z ¬ ∀x x = z)
18	16, 17	hban 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → ∀z(¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z))
19		ddeel1 1003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ∀x x = z → (z ∈ w → ∀x z ∈ w))
20	19	adantl 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (z ∈ w → ∀x z ∈ w))
21	7, 20	hband 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → ((y ∈ z ∧ z ∈ w) → ∀x(y ∈ z ∧ z ∈ w)))
22	18, 21	hbexd 791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w) → ∀x∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w)))
23	5, 12, 22	hbimd 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → ((y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w)) → ∀x(y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w))))
24	15, 23	hbald 790	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (∀y(y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w)) → ∀x∀y(y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w))))
25	12, 24	hband 788	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → ((y ∈ w ∧ ∀y(y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w))) → ∀x(y ∈ w ∧ ∀y(y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w)))))
26		a14b 820	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = x → (y ∈ w ↔ y ∈ x))
27	26	adantl 305	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) ∧ w = x) → (y ∈ w ↔ y ∈ x))
28		nd5 3736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀x x = y → (w = x → ∀y w = x))
29	28	adantr 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (w = x → ∀y w = x))
30	29	imdistani 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) ∧ w = x) → ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) ∧ ∀y w = x))
31		hba1 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y w = x → ∀y∀y w = x)
32	14, 31	hban 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∀x x = z ∧ ∀y w = x) → ∀y(¬ ∀x x = z ∧ ∀y w = x))
33	26	adantl 305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ ∀x x = z ∧ w = x) → (y ∈ w ↔ y ∈ x))
34		nd5 3736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ ∀x x = z → (w = x → ∀z w = x))
35	34	imdistani 340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ ∀x x = z ∧ w = x) → (¬ ∀x x = z ∧ ∀z w = x))
36		hba1 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀z w = x → ∀z∀z w = x)
37		a14b 820	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (w = x → (z ∈ w ↔ z ∈ x))
38	37	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (w = x → ((y ∈ z ∧ z ∈ w) ↔ (y ∈ z ∧ z ∈ x)))
39	38	a4s 682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀z w = x → ((y ∈ z ∧ z ∈ w) ↔ (y ∈ z ∧ z ∈ x)))
40	36, 39	biexd 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀z w = x → (∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w) ↔ ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))
41	40	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ ∀x x = z ∧ ∀z w = x) → (∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w) ↔ ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))
42	35, 41	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ ∀x x = z ∧ w = x) → (∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w) ↔ ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))
43	33, 42	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∀x x = z ∧ w = x) → ((y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w)) ↔ (y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))
44		ax-4 673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y w = x → w = x)
45	43, 44	sylan2 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∀x x = z ∧ ∀y w = x) → ((y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w)) ↔ (y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))
46	32, 45	biald 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀x x = z ∧ ∀y w = x) → (∀y(y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w)) ↔ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))
47	46	adantll 309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) ∧ ∀y w = x) → (∀y(y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w)) ↔ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))
48	30, 47	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) ∧ w = x) → (∀y(y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w)) ↔ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))
49	27, 48	anbi12d 476	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) ∧ w = x) → ((y ∈ w ∧ ∀y(y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w))) ↔ (y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))))
50	49	exp 291	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (w = x → ((y ∈ w ∧ ∀y(y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w))) ↔ (y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))))
51	5, 25, 50	cbvexd 978	. . . . 5 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (∃w(y ∈ w ∧ ∀y(y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w))) ↔ ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))))
52	10, 51	imbi12d 474	. . . 4 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → ((∀w y ∈ z → ∃w(y ∈ w ∧ ∀y(y ∈ w → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ w)))) ↔ (∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))))
53	2, 52	mpbii 168	. . 3 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ¬ ∀x x = z) → (∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))))
54	53	exp 291	. 2 ⊢ (¬ ∀x x = y → (¬ ∀x x = z → (∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))))
55		nd1 3732	. . 3 ⊢ (∀x x = y → ¬ ∀x y ∈ z)
56	55	pm2.21d 74	. 2 ⊢ (∀x x = y → (∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))))
57		nd2 3733	. . 3 ⊢ (∀x x = z → ¬ ∀x y ∈ z)
58	57	pm2.21d 74	. 2 ⊢ (∀x x = z → (∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))))
59	54, 56, 58	pm2.61ii 113	1 ⊢ (∀x y ∈ z → ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem is referenced by:  axinfnd 3752

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

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