Theorem axltadd 4085

Description: Ordering property of addition on reals. One of the 28 axioms for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axltadd	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (A < B → (C + A) < (C + B)))

Proof of Theorem axltadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 4044	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ ↔ ∃x(x ∈ R ∧ ⟨x, 0R⟩ = A))
2		elreal 4044	. . 3 ⊢ (B ∈ ℝ ↔ ∃y(y ∈ R ∧ ⟨y, 0R⟩ = B))
3		elreal 4044	. . 3 ⊢ (C ∈ ℝ ↔ ∃z(z ∈ R ∧ ⟨z, 0R⟩ = C))
4		breq1 2065	. . . 4 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨x, 0R⟩ < ⟨y, 0R⟩ ↔ A < ⟨y, 0R⟩))
5		opreq2 3007	. . . . 5 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) = (⟨z, 0R⟩ + A))
6	5	breq1d 2071	. . . 4 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → ((⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩)))
7	4, 6	bibi12d 477	. . 3 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → ((⟨x, 0R⟩ < ⟨y, 0R⟩ ↔ (⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩)) ↔ (A < ⟨y, 0R⟩ ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩))))
8		breq2 2066	. . . 4 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → (A < ⟨y, 0R⟩ ↔ A < B))
9		opreq2 3007	. . . . 5 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) = (⟨z, 0R⟩ + B))
10	9	breq2d 2072	. . . 4 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → ((⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + B)))
11	8, 10	bibi12d 477	. . 3 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → ((A < ⟨y, 0R⟩ ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩)) ↔ (A < B ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + B))))
12		opreq1 3006	. . . . 5 ⊢ (⟨z, 0R⟩ = C → (⟨z, 0R⟩ + A) = (C + A))
13		opreq1 3006	. . . . 5 ⊢ (⟨z, 0R⟩ = C → (⟨z, 0R⟩ + B) = (C + B))
14	12, 13	breq12d 2073	. . . 4 ⊢ (⟨z, 0R⟩ = C → ((⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + B) ↔ (C + A) < (C + B)))
15	14	bibi2d 470	. . 3 ⊢ (⟨z, 0R⟩ = C → ((A < B ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + B)) ↔ (A < B ↔ (C + A) < (C + B))))
16		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ x ∈ V
17		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ y ∈ V
18	16, 17	ltasr 4003	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ R → (x <R y ↔ (z +R x) <R (z +R y)))
19	18	adantr 306	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ R ∧ (x ∈ R ∧ y ∈ R)) → (x <R y ↔ (z +R x) <R (z +R y)))
20	16, 17	ltresr 4052	. . . . . . 7 ⊢ (⟨x, 0R⟩ < ⟨y, 0R⟩ ↔ x <R y)
21	20	a1i 7	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ R ∧ (x ∈ R ∧ y ∈ R)) → (⟨x, 0R⟩ < ⟨y, 0R⟩ ↔ x <R y))
22		addresr 4050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ R ∧ x ∈ R) → (⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) = ⟨(z +R x), 0R⟩)
23		addresr 4050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ R ∧ y ∈ R) → (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) = ⟨(z +R y), 0R⟩)
24	22, 23	breqan12d 2074	. . . . . . . 8 ⊢ (((z ∈ R ∧ x ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ y ∈ R)) → ((⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ↔ ⟨(z +R x), 0R⟩ < ⟨(z +R y), 0R⟩))
25	24	anandis 394	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ R ∧ (x ∈ R ∧ y ∈ R)) → ((⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ↔ ⟨(z +R x), 0R⟩ < ⟨(z +R y), 0R⟩))
26		oprex 3018	. . . . . . . 8 ⊢ (z +R x) ∈ V
27		oprex 3018	. . . . . . . 8 ⊢ (z +R y) ∈ V
28	26, 27	ltresr 4052	. . . . . . 7 ⊢ (⟨(z +R x), 0R⟩ < ⟨(z +R y), 0R⟩ ↔ (z +R x) <R (z +R y))
29	25, 28	syl6bb 414	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ R ∧ (x ∈ R ∧ y ∈ R)) → ((⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ↔ (z +R x) <R (z +R y)))
30	19, 21, 29	3bitr4d 424	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ R ∧ (x ∈ R ∧ y ∈ R)) → (⟨x, 0R⟩ < ⟨y, 0R⟩ ↔ (⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩)))
31	30	ancoms 334	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ z ∈ R) → (⟨x, 0R⟩ < ⟨y, 0R⟩ ↔ (⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩)))
32	31	3impa 609	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R) → (⟨x, 0R⟩ < ⟨y, 0R⟩ ↔ (⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩)))
33	1, 2, 3, 7, 11, 15, 32	3gencl 1367	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (A < B ↔ (C + A) < (C + B)))
34	33	biimpd 135	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (A < B → (C + A) < (C + B)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788   +_R cplr 3791   <_R cltr 3793  ℝcr 4027   + caddc 4031   < clt 4033

This theorem is referenced by:  ltadd2 4312  nnge1t 4439

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-c 4034  df-r 4038  df-plus 4039  df-lt 4041

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