Theorem axmulass 4073

Description: Multiplication of complex numbers is associative. One of the 28 axioms for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulass	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → ((A · B) · C) = (A · (B · C)))

Proof of Theorem axmulass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 4056	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡E)
2		mulcnsrec 4058	. 2 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E · [⟨z, w⟩]◡E) = [⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩]◡E)
3		mulcnsrec 4058	. 2 ⊢ (((z ∈ R ∧ w ∈ R) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ R)) → ([⟨z, w⟩]◡E · [⟨v, u⟩]◡E) = [⟨((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))), ((w ·R v) +R (z ·R u))⟩]◡E)
4		mulcnsrec 4058	. 2 ⊢ (((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R ∧ ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ R)) → ([⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩]◡E · [⟨v, u⟩]◡E) = [⟨((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) +R (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u))), ((((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) +R (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u))⟩]◡E)
5		mulcnsrec 4058	. 2 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R ∧ ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E · [⟨((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))), ((w ·R v) +R (z ·R u))⟩]◡E) = [⟨((x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))), ((y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))⟩]◡E)
6		addclsr 3986	. . . . 5 ⊢ (((x ·R z) ∈ R ∧ (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
7		mulclsr 3987	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ∧ z ∈ R) → (x ·R z) ∈ R)
8		mulclsr 3987	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ∧ w ∈ R) → (y ·R w) ∈ R)
9		m1r 3985	. . . . . . 7 ⊢ -1R ∈ R
10		mulclsr 3987	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (y ·R w) ∈ R) → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
11	9, 10	mpan 518	. . . . . 6 ⊢ ((y ·R w) ∈ R → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
12	8, 11	syl 12	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ R ∧ w ∈ R) → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
13	6, 7, 12	syl2an 349	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ∧ z ∈ R) ∧ (y ∈ R ∧ w ∈ R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
14	13	an4s 390	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
15		addclsr 3986	. . . . . 6 ⊢ (((y ·R z) ∈ R ∧ (x ·R w) ∈ R) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
16		mulclsr 3987	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ∧ z ∈ R) → (y ·R z) ∈ R)
17		mulclsr 3987	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ R ∧ w ∈ R) → (x ·R w) ∈ R)
18	15, 16, 17	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ R ∧ z ∈ R) ∧ (x ∈ R ∧ w ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
19	18	ancoms 334	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ∧ w ∈ R) ∧ (y ∈ R ∧ z ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
20	19	an42s 391	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
21	14, 20	jca 236	. 2 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R ∧ ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R))
22		addclsr 3986	. . . . 5 ⊢ (((z ·R v) ∈ R ∧ (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R) → ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R)
23		mulclsr 3987	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ R ∧ v ∈ R) → (z ·R v) ∈ R)
24		mulclsr 3987	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ R ∧ u ∈ R) → (w ·R u) ∈ R)
25		mulclsr 3987	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (w ·R u) ∈ R) → (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R)
26	9, 25	mpan 518	. . . . . 6 ⊢ ((w ·R u) ∈ R → (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R)
27	24, 26	syl 12	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ R ∧ u ∈ R) → (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R)
28	22, 23, 27	syl2an 349	. . . 4 ⊢ (((z ∈ R ∧ v ∈ R) ∧ (w ∈ R ∧ u ∈ R)) → ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R)
29	28	an4s 390	. . 3 ⊢ (((z ∈ R ∧ w ∈ R) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ R)) → ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R)
30		addclsr 3986	. . . . . 6 ⊢ (((w ·R v) ∈ R ∧ (z ·R u) ∈ R) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
31		mulclsr 3987	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ R ∧ v ∈ R) → (w ·R v) ∈ R)
32		mulclsr 3987	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ R ∧ u ∈ R) → (z ·R u) ∈ R)
33	30, 31, 32	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ (((w ∈ R ∧ v ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ u ∈ R)) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
34	33	ancoms 334	. . . 4 ⊢ (((z ∈ R ∧ u ∈ R) ∧ (w ∈ R ∧ v ∈ R)) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
35	34	an42s 391	. . 3 ⊢ (((z ∈ R ∧ w ∈ R) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ R)) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
36	29, 35	jca 236	. 2 ⊢ (((z ∈ R ∧ w ∈ R) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ R)) → (((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R ∧ ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R))
37		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (x ·R (z ·R v)) ∈ V
38		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (x ·R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ V
39		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R (w ·R v))) ∈ V
40		visset 1350	. . . . 5 ⊢ f ∈ V
41		visset 1350	. . . . 5 ⊢ g ∈ V
42	40, 41	addcomsr 3990	. . . 4 ⊢ (f +R g) = (g +R f)
43		visset 1350	. . . . 5 ⊢ h ∈ V
44	41, 43	addasssr 3991	. . . 4 ⊢ ((f +R g) +R h) = (f +R (g +R h))
45		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R (z ·R u))) ∈ V
46	37, 38, 39, 42, 44, 45	caopr42 3080	. . 3 ⊢ (((x ·R (z ·R v)) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u))))) = (((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v)))) +R ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
47		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (z ·R v) ∈ V
48		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (w ·R u)) ∈ V
49	47, 48	distrsr 3994	. . . 4 ⊢ (x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) = ((x ·R (z ·R v)) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u))))
50		oprex 3018	. . . . . . 7 ⊢ (w ·R v) ∈ V
51		oprex 3018	. . . . . . 7 ⊢ (z ·R u) ∈ V
52	50, 51	distrsr 3994	. . . . . 6 ⊢ (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))) = ((y ·R (w ·R v)) +R (y ·R (z ·R u)))
53	52	opreq2i 3010	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))) = (-1R ·R ((y ·R (w ·R v)) +R (y ·R (z ·R u))))
54		oprex 3018	. . . . . 6 ⊢ (y ·R (w ·R v)) ∈ V
55		oprex 3018	. . . . . 6 ⊢ (y ·R (z ·R u)) ∈ V
56	54, 55	distrsr 3994	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R ((y ·R (w ·R v)) +R (y ·R (z ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u))))
57	53, 56	eqtr 1119	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u))))
58	49, 57	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ ((x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))) = (((x ·R (z ·R v)) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u)))))
59		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
60	9	elisseti 1355	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ V
61		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ z ∈ V
62	40, 41	mulcomsr 3992	. . . . . 6 ⊢ (f ·R g) = (g ·R f)
63	41, 43	distrsr 3994	. . . . . 6 ⊢ (f ·R (g +R h)) = ((f ·R g) +R (f ·R h))
64		oprex 3018	. . . . . 6 ⊢ (y ·R w) ∈ V
65		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ v ∈ V
66	41, 43	mulasssr 3993	. . . . . 6 ⊢ ((f ·R g) ·R h) = (f ·R (g ·R h))
67	59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66	caoprdilem 3082	. . . . 5 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) = ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R v)))
68		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ w ∈ V
69	68, 65	mulasssr 3993	. . . . . . 7 ⊢ ((y ·R w) ·R v) = (y ·R (w ·R v))
70	69	opreq2i 3010	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R ((y ·R w) ·R v)) = (-1R ·R (y ·R (w ·R v)))
71	70	opreq2i 3010	. . . . 5 ⊢ ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R v))) = ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v))))
72	67, 71	eqtr 1119	. . . 4 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) = ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v))))
73		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
74		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ u ∈ V
75	73, 59, 61, 62, 63, 68, 74, 66	caoprdilem 3082	. . . . . 6 ⊢ (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u) = ((y ·R (z ·R u)) +R (x ·R (w ·R u)))
76	75	opreq2i 3010	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u)) = (-1R ·R ((y ·R (z ·R u)) +R (x ·R (w ·R u))))
77		oprex 3018	. . . . . 6 ⊢ (x ·R (w ·R u)) ∈ V
78	55, 77	distrsr 3994	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R ((y ·R (z ·R u)) +R (x ·R (w ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (-1R ·R (x ·R (w ·R u))))
79		oprex 3018	. . . . . . 7 ⊢ (w ·R u) ∈ V
80	60, 59, 79, 62, 66	caopr12 3075	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R (x ·R (w ·R u))) = (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))
81	80	opreq2i 3010	. . . . 5 ⊢ ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (-1R ·R (x ·R (w ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u))))
82	76, 78, 81	3eqtr 1123	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u)) = ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u))))
83	72, 82	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ ((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) +R (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u))) = (((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v)))) +R ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
84	46, 58, 83	3eqtr4r 1127	. 2 ⊢ ((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) +R (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u))) = ((x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))))
85		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (y ·R (z ·R v)) ∈ V
86		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (y ·R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ V
87		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (x ·R (w ·R v)) ∈ V
88		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (x ·R (z ·R u)) ∈ V
89	85, 86, 87, 42, 44, 88	caopr42 3080	. . 3 ⊢ (((y ·R (z ·R v)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((x ·R (w ·R v)) +R (x ·R (z ·R u)))) = (((y ·R (z ·R v)) +R (x ·R (w ·R v))) +R ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
90	47, 48	distrsr 3994	. . . 4 ⊢ (y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) = ((y ·R (z ·R v)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u))))
91	50, 51	distrsr 3994	. . . 4 ⊢ (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))) = ((x ·R (w ·R v)) +R (x ·R (z ·R u)))
92	90, 91	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ ((y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))) = (((y ·R (z ·R v)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((x ·R (w ·R v)) +R (x ·R (z ·R u))))
93	73, 59, 61, 62, 63, 68, 65, 66	caoprdilem 3082	. . . 4 ⊢ (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) = ((y ·R (z ·R v)) +R (x ·R (w ·R v)))
94	59, 60, 61, 62, 63, 64, 74, 66	caoprdilem 3082	. . . . 5 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u) = ((x ·R (z ·R u)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R u)))
95	68, 74	mulasssr 3993	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ·R w) ·R u) = (y ·R (w ·R u))
96	95	opreq2i 3010	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ·R ((y ·R w) ·R u)) = (-1R ·R (y ·R (w ·R u)))
97	60, 73, 79, 62, 66	caopr12 3075	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ·R (y ·R (w ·R u))) = (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))
98	96, 97	eqtr 1119	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R ((y ·R w) ·R u)) = (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))
99	98	opreq2i 3010	. . . . 5 ⊢ ((x ·R (z ·R u)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R u))) = ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u))))
100	94, 99	eqtr 1119	. . . 4 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u) = ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u))))
101	93, 100	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ ((((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) +R (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u)) = (((y ·R (z ·R v)) +R (x ·R (w ·R v))) +R ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
102	89, 92, 101	3eqtr4r 1127	. 2 ⊢ ((((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) +R (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u)) = ((y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))
103	1, 2, 3, 4, 5, 21, 36, 84, 102	ecoprass 3256	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → ((A · B) · C) = (A · (B · C)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Ecep 2056  ^◡ccnv 2409  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  -1_Rcm1r 3790   +_R cplr 3791   ·_R cmr 3792  ℂcc 4026   · cmulc 4032

This theorem is referenced by:  mulass 4109  mul23t 4176  mul4t 4177  mulcan 4207  receu 4215  divasst 4239  divdivdivt 4265  expaddt 4698  pjthlem6 5230

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-m1r 3967  df-c 4034  df-mul 4040

metamath.org