Theorem axmulcl 4068

Description: Closure law for multiplication of complex numbers. One of the 28 axioms for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulcl	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A · B) ∈ ℂ)

Proof of Theorem axmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 4034	. . 3 ⊢ ℂ = (R × R)
2		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → (⟨x, y⟩ · ⟨z, w⟩) = (A · ⟨z, w⟩))
3	2	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → ((⟨x, y⟩ · ⟨z, w⟩) ∈ (R × R) ↔ (A · ⟨z, w⟩) ∈ (R × R)))
4		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ (⟨z, w⟩ = B → (A · ⟨z, w⟩) = (A · B))
5	4	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ (⟨z, w⟩ = B → ((A · ⟨z, w⟩) ∈ (R × R) ↔ (A · B) ∈ (R × R)))
6		mulcnsr 4048	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → (⟨x, y⟩ · ⟨z, w⟩) = ⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩)
7		opelxpi 2455	. . . . 5 ⊢ ((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R ∧ ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R) → ⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩ ∈ (R × R))
8		addclsr 3986	. . . . . . 7 ⊢ (((x ·R z) ∈ R ∧ (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
9		mulclsr 3987	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ R ∧ z ∈ R) → (x ·R z) ∈ R)
10		mulclsr 3987	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ R ∧ w ∈ R) → (y ·R w) ∈ R)
11		m1r 3985	. . . . . . . . 9 ⊢ -1R ∈ R
12		mulclsr 3987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (y ·R w) ∈ R) → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
13	11, 12	mpan 518	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ·R w) ∈ R → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
14	10, 13	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ R ∧ w ∈ R) → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
15	8, 9, 14	syl2an 349	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ R ∧ z ∈ R) ∧ (y ∈ R ∧ w ∈ R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
16	15	an4s 390	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
17		addclsr 3986	. . . . . . . 8 ⊢ (((y ·R z) ∈ R ∧ (x ·R w) ∈ R) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
18		mulclsr 3987	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ R ∧ z ∈ R) → (y ·R z) ∈ R)
19		mulclsr 3987	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ R ∧ w ∈ R) → (x ·R w) ∈ R)
20	17, 18, 19	syl2an 349	. . . . . . 7 ⊢ (((y ∈ R ∧ z ∈ R) ∧ (x ∈ R ∧ w ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
21	20	ancoms 334	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ R ∧ w ∈ R) ∧ (y ∈ R ∧ z ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
22	21	an42s 391	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
23	7, 16, 22	sylanc 361	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → ⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩ ∈ (R × R))
24	6, 23	eqeltrd 1163	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ (z ∈ R ∧ w ∈ R)) → (⟨x, y⟩ · ⟨z, w⟩) ∈ (R × R))
25	1, 3, 5, 24	2optocl 2470	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A · B) ∈ (R × R))
26	1	eleq2i 1153	. 2 ⊢ ((A · B) ∈ ℂ ↔ (A · B) ∈ (R × R))
27	25, 26	sylibr 175	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A · B) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   × cxp 2408  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  -1_Rcm1r 3790   +_R cplr 3791   ·_R cmr 3792  ℂcc 4026   · cmulc 4032

This theorem is referenced by:  mulcl 4105  mul4t 4177  receu 4215  divasst 4239  divmuldivt 4263  divadddivt 4264  divdivdivt 4265  zneo 4601  qbtwnre 4650  sqclt 4684  expclt 4696  cjclt 4800  znnen 4930  pjthlem4 5228  pjthlem7 5231  spansncol 5473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-m1r 3967  df-c 4034  df-mul 4040

metamath.org