Theorem axmulgt0 4086

Description: The product of two positive reals is positive. One of the 28 axioms for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulgt0	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((0 < A ∧ 0 < B) → 0 < (A · B)))

Proof of Theorem axmulgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 4044	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ ↔ ∃x(x ∈ R ∧ ⟨x, 0R⟩ = A))
2		elreal 4044	. 2 ⊢ (B ∈ ℝ ↔ ∃y(y ∈ R ∧ ⟨y, 0R⟩ = B))
3		breq2 2066	. . . 4 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → (0 < ⟨x, 0R⟩ ↔ 0 < A))
4	3	anbi1d 469	. . 3 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → ((0 < ⟨x, 0R⟩ ∧ 0 < ⟨y, 0R⟩) ↔ (0 < A ∧ 0 < ⟨y, 0R⟩)))
5		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) = (A · ⟨y, 0R⟩))
6	5	breq2d 2072	. . 3 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → (0 < (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) ↔ 0 < (A · ⟨y, 0R⟩)))
7	4, 6	imbi12d 474	. 2 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → (((0 < ⟨x, 0R⟩ ∧ 0 < ⟨y, 0R⟩) → 0 < (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩)) ↔ ((0 < A ∧ 0 < ⟨y, 0R⟩) → 0 < (A · ⟨y, 0R⟩))))
8		breq2 2066	. . . 4 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → (0 < ⟨y, 0R⟩ ↔ 0 < B))
9	8	anbi2d 468	. . 3 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → ((0 < A ∧ 0 < ⟨y, 0R⟩) ↔ (0 < A ∧ 0 < B)))
10		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → (A · ⟨y, 0R⟩) = (A · B))
11	10	breq2d 2072	. . 3 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → (0 < (A · ⟨y, 0R⟩) ↔ 0 < (A · B)))
12	9, 11	imbi12d 474	. 2 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → (((0 < A ∧ 0 < ⟨y, 0R⟩) → 0 < (A · ⟨y, 0R⟩)) ↔ ((0 < A ∧ 0 < B) → 0 < (A · B))))
13		df-0 4035	. . . . . 6 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
14	13	a1i 7	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ∧ y ∈ R) → 0 = ⟨0R, 0R⟩)
15		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
16	15	mulresr 4051	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ∧ y ∈ R) → (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) = ⟨(x ·R y), 0R⟩)
17	14, 16	breq12d 2073	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ∧ y ∈ R) → (0 < (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) ↔ ⟨0R, 0R⟩ < ⟨(x ·R y), 0R⟩))
18		0r 3983	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
19	18	elisseti 1355	. . . . 5 ⊢ 0R ∈ V
20		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (x ·R y) ∈ V
21	19, 20	ltresr 4052	. . . 4 ⊢ (⟨0R, 0R⟩ < ⟨(x ·R y), 0R⟩ ↔ 0R <R (x ·R y))
22	17, 21	syl6bb 414	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ∧ y ∈ R) → (0 < (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) ↔ 0R <R (x ·R y)))
23		visset 1350	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
24	23, 15	mulgt0sr 4008	. . . 4 ⊢ ((0R <R x ∧ 0R <R y) → 0R <R (x ·R y))
25	13	breq1i 2068	. . . . 5 ⊢ (0 < ⟨x, 0R⟩ ↔ ⟨0R, 0R⟩ < ⟨x, 0R⟩)
26	19, 23	ltresr 4052	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 0R⟩ < ⟨x, 0R⟩ ↔ 0R <R x)
27	25, 26	bitr 151	. . . 4 ⊢ (0 < ⟨x, 0R⟩ ↔ 0R <R x)
28	13	breq1i 2068	. . . . 5 ⊢ (0 < ⟨y, 0R⟩ ↔ ⟨0R, 0R⟩ < ⟨y, 0R⟩)
29	19, 15	ltresr 4052	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 0R⟩ < ⟨y, 0R⟩ ↔ 0R <R y)
30	28, 29	bitr 151	. . . 4 ⊢ (0 < ⟨y, 0R⟩ ↔ 0R <R y)
31	24, 27, 30	syl2anb 350	. . 3 ⊢ ((0 < ⟨x, 0R⟩ ∧ 0 < ⟨y, 0R⟩) → 0R <R (x ·R y))
32	22, 31	syl5bir 184	. 2 ⊢ ((x ∈ R ∧ y ∈ R) → ((0 < ⟨x, 0R⟩ ∧ 0 < ⟨y, 0R⟩) → 0 < (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩)))
33	1, 2, 7, 12, 32	2gencl 1366	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((0 < A ∧ 0 < B) → 0 < (A · B)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788   ·_R cmr 3792   <_R cltr 3793  ℝcr 4027  0cc0 4028   · cmulc 4032   < clt 4033

This theorem is referenced by:  mulgt0 4334  znnen 4930

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-r 4038  df-mul 4040  df-lt 4041

metamath.org