Theorem axnegex 4078

Description: Existence of negative of complex number. One of the 28 axioms for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axnegex	⊢ (A ∈ ℂ → ∃x ∈ ℂ (A + x) = 0)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem axnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 4034	. . 3 ⊢ ℂ = (R × R)
2		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (⟨y, z⟩ = A → (⟨y, z⟩ + x) = (A + x))
3	2	cleq1d 1109	. . . . 5 ⊢ (⟨y, z⟩ = A → ((⟨y, z⟩ + x) = 0 ↔ (A + x) = 0))
4	3	anbi2d 468	. . . 4 ⊢ (⟨y, z⟩ = A → ((x ∈ ℂ ∧ (⟨y, z⟩ + x) = 0) ↔ (x ∈ ℂ ∧ (A + x) = 0)))
5	4	biexdv 936	. . 3 ⊢ (⟨y, z⟩ = A → (∃x(x ∈ ℂ ∧ (⟨y, z⟩ + x) = 0) ↔ ∃x(x ∈ ℂ ∧ (A + x) = 0)))
6		negexsr 4005	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ R → ∃w(w ∈ R ∧ (y +R w) = 0R))
7		negexsr 4005	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ R → ∃v(v ∈ R ∧ (z +R v) = 0R))
8	6, 7	anim12i 268	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ R ∧ z ∈ R) → (∃w(w ∈ R ∧ (y +R w) = 0R) ∧ ∃v(v ∈ R ∧ (z +R v) = 0R)))
9		eeanv 980	. . . . 5 ⊢ (∃w∃v((w ∈ R ∧ (y +R w) = 0R) ∧ (v ∈ R ∧ (z +R v) = 0R)) ↔ (∃w(w ∈ R ∧ (y +R w) = 0R) ∧ ∃v(v ∈ R ∧ (z +R v) = 0R)))
10	8, 9	sylibr 175	. . . 4 ⊢ ((y ∈ R ∧ z ∈ R) → ∃w∃v((w ∈ R ∧ (y +R w) = 0R) ∧ (v ∈ R ∧ (z +R v) = 0R)))
11		opex 1893	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨w, v⟩ ∈ V
12		eleq1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = ⟨w, v⟩ → (x ∈ ℂ ↔ ⟨w, v⟩ ∈ ℂ))
13		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = ⟨w, v⟩ → (⟨y, z⟩ + x) = (⟨y, z⟩ + ⟨w, v⟩))
14	13	cleq1d 1109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = ⟨w, v⟩ → ((⟨y, z⟩ + x) = 0 ↔ (⟨y, z⟩ + ⟨w, v⟩) = 0))
15	12, 14	anbi12d 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = ⟨w, v⟩ → ((x ∈ ℂ ∧ (⟨y, z⟩ + x) = 0) ↔ (⟨w, v⟩ ∈ ℂ ∧ (⟨y, z⟩ + ⟨w, v⟩) = 0)))
16	11, 15	cla4ev 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨w, v⟩ ∈ ℂ ∧ (⟨y, z⟩ + ⟨w, v⟩) = 0) → ∃x(x ∈ ℂ ∧ (⟨y, z⟩ + x) = 0))
17		opelxpi 2455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((w ∈ R ∧ v ∈ R) → ⟨w, v⟩ ∈ (R × R))
18	1	eleq2i 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨w, v⟩ ∈ ℂ ↔ ⟨w, v⟩ ∈ (R × R))
19	17, 18	sylibr 175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((w ∈ R ∧ v ∈ R) → ⟨w, v⟩ ∈ ℂ)
20	19	ad2antlr 321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((y ∈ R ∧ z ∈ R) ∧ (w ∈ R ∧ v ∈ R)) ∧ ((y +R w) = 0R ∧ (z +R v) = 0R)) → ⟨w, v⟩ ∈ ℂ)
21		addcnsr 4047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y ∈ R ∧ z ∈ R) ∧ (w ∈ R ∧ v ∈ R)) → (⟨y, z⟩ + ⟨w, v⟩) = ⟨(y +R w), (z +R v)⟩)
22		opeq12 1878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((y +R w) = 0R ∧ (z +R v) = 0R) → ⟨(y +R w), (z +R v)⟩ = ⟨0R, 0R⟩)
23		df-0 4035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
24	22, 23	syl6eqr 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y +R w) = 0R ∧ (z +R v) = 0R) → ⟨(y +R w), (z +R v)⟩ = 0)
25	21, 24	sylan9eq 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((y ∈ R ∧ z ∈ R) ∧ (w ∈ R ∧ v ∈ R)) ∧ ((y +R w) = 0R ∧ (z +R v) = 0R)) → (⟨y, z⟩ + ⟨w, v⟩) = 0)
26	16, 20, 25	sylanc 361	. . . . . . . 8 ⊢ ((((y ∈ R ∧ z ∈ R) ∧ (w ∈ R ∧ v ∈ R)) ∧ ((y +R w) = 0R ∧ (z +R v) = 0R)) → ∃x(x ∈ ℂ ∧ (⟨y, z⟩ + x) = 0))
27	26	exp31 293	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ R ∧ z ∈ R) → ((w ∈ R ∧ v ∈ R) → (((y +R w) = 0R ∧ (z +R v) = 0R) → ∃x(x ∈ ℂ ∧ (⟨y, z⟩ + x) = 0))))
28	27	imp3a 279	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ∧ z ∈ R) → (((w ∈ R ∧ v ∈ R) ∧ ((y +R w) = 0R ∧ (z +R v) = 0R)) → ∃x(x ∈ ℂ ∧ (⟨y, z⟩ + x) = 0)))
29		an4 388	. . . . . 6 ⊢ (((w ∈ R ∧ (y +R w) = 0R) ∧ (v ∈ R ∧ (z +R v) = 0R)) ↔ ((w ∈ R ∧ v ∈ R) ∧ ((y +R w) = 0R ∧ (z +R v) = 0R)))
30	28, 29	syl5ib 181	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ R ∧ z ∈ R) → (((w ∈ R ∧ (y +R w) = 0R) ∧ (v ∈ R ∧ (z +R v) = 0R)) → ∃x(x ∈ ℂ ∧ (⟨y, z⟩ + x) = 0)))
31	30	19.23advv 955	. . . 4 ⊢ ((y ∈ R ∧ z ∈ R) → (∃w∃v((w ∈ R ∧ (y +R w) = 0R) ∧ (v ∈ R ∧ (z +R v) = 0R)) → ∃x(x ∈ ℂ ∧ (⟨y, z⟩ + x) = 0)))
32	10, 31	mpd 46	. . 3 ⊢ ((y ∈ R ∧ z ∈ R) → ∃x(x ∈ ℂ ∧ (⟨y, z⟩ + x) = 0))
33	1, 5, 32	optocl 2469	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃x(x ∈ ℂ ∧ (A + x) = 0))
34		df-rex 1206	. 2 ⊢ (∃x ∈ ℂ (A + x) = 0 ↔ ∃x(x ∈ ℂ ∧ (A + x) = 0))
35	33, 34	sylibr 175	1 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃x ∈ ℂ (A + x) = 0)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  ⟨cop 1810   × cxp 2408  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788   +_R cplr 3791  ℂcc 4026  0cc0 4028   + caddc 4031

This theorem is referenced by:  negex 4116

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-plus 4039

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