Theorem axpownd 3747

Description: A version of the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axpownd	⊢ (¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x))

Proof of Theorem axpownd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpowndlem4 3746	. 2 ⊢ (¬ ∀y y = x → (¬ ∀y y = z → (¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x))))
2		axpowndlem1 3743	. . 3 ⊢ (∀x x = y → (¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x)))
3	2	eq4s 822	. 2 ⊢ (∀y y = x → (¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x)))
4	2	a1d 14	. . 3 ⊢ (∀x x = y → (∀y y = z → (¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x))))
5		eq6 826	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀x x = y → ∀y ¬ ∀x x = y)
6		eq5 824	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y y = z → ∀y∀y y = z)
7	5, 6	hban 704	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ∀y y = z) → ∀y(¬ ∀x x = y ∧ ∀y y = z))
8		el 1860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∃w x ∈ w
9		ddeel1 1003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ ∀y y = x → (x ∈ w → ∀y x ∈ w))
10	9	eq4ds 823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ ∀x x = y → (x ∈ w → ∀y x ∈ w))
11		a14b 820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (w = y → (x ∈ w ↔ x ∈ y))
12	11	a1i 7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ ∀x x = y → (w = y → (x ∈ w ↔ x ∈ y)))
13	5, 10, 12	cbvexd 978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ ∀x x = y → (∃w x ∈ w ↔ ∃y x ∈ y))
14	8, 13	mpbii 168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ∀x x = y → ∃y x ∈ y)
15		19.8a 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃y x ∈ y → ∃x∃y x ∈ y)
16	14, 15	syl 12	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀x x = y → ∃x∃y x ∈ y)
17		df-ex 679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃x∃y x ∈ y ↔ ¬ ∀x ¬ ∃y x ∈ y)
18	16, 17	sylib 173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∀x x = y → ¬ ∀x ¬ ∃y x ∈ y)
19	18	adantr 306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ∀y y = z) → ¬ ∀x ¬ ∃y x ∈ y)
20		eq5 824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀y y = z → ∀x∀y y = z)
21		pm4.2i 149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y y = z → (¬ x ∈ y ↔ ¬ x ∈ y))
22	21	del34b 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y y = z → (∀y ¬ x ∈ y ↔ ∀z ¬ x ∈ y))
23		alnex 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y ¬ x ∈ y ↔ ¬ ∃y x ∈ y)
24		alnex 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀z ¬ x ∈ y ↔ ¬ ∃z x ∈ y)
25	22, 23, 24	3bitr3g 427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y y = z → (¬ ∃y x ∈ y ↔ ¬ ∃z x ∈ y))
26		nd2 3733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y y = z → ¬ ∀y x ∈ z)
27		mtt 534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ ∀y x ∈ z → (¬ ∃z x ∈ y ↔ (∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z)))
28	26, 27	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y y = z → (¬ ∃z x ∈ y ↔ (∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z)))
29	25, 28	bitrd 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀y y = z → (¬ ∃y x ∈ y ↔ (∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z)))
30	20, 29	biald 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀y y = z → (∀x ¬ ∃y x ∈ y ↔ ∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z)))
31	30	adantl 305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ∀y y = z) → (∀x ¬ ∃y x ∈ y ↔ ∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z)))
32	19, 31	mtbid 536	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ∀y y = z) → ¬ ∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z))
33	32	pm2.21d 74	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ∀y y = z) → (∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x))
34	7, 33	19.21ai 740	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ∀y y = z) → ∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x))
35		19.8a 712	. . . . . 6 ⊢ (∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x) → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x))
36	34, 35	syl 12	. . . . 5 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ∀y y = z) → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x))
37	36	a1d 14	. . . 4 ⊢ ((¬ ∀x x = y ∧ ∀y y = z) → (¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x)))
38	37	exp 291	. . 3 ⊢ (¬ ∀x x = y → (∀y y = z → (¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x))))
39	4, 38	pm2.61i 110	. 2 ⊢ (∀y y = z → (¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x)))
40	1, 3, 39	pm2.61ii 113	1 ⊢ (¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem is referenced by:  zfcndpow 3762

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

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