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Theorem axpowndlem4 3746
Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions.
Assertion
Ref Expression
axpowndlem4 ⊢ (¬ ∀y y = x → (¬ ∀y y = z → (¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x))))
Proof of Theorem axpowndlem4
StepHypRef Expression
1 axpowndlem3 3745 . . . . 5 ⊢ (¬ x = w → ∃x∀w(∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x))
21ax-gen 677 . . . 4 ⊢ ∀w(¬ x = w → ∃x∀w(∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x))
3 eq6 826 . . . . . 6 ⊢ (¬ ∀y y = x → ∀y ¬ ∀y y = x)
4 eq6 826 . . . . . 6 ⊢ (¬ ∀y y = z → ∀y ¬ ∀y y = z)
53, 4hban 704 . . . . 5 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ∀y(¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z))
6 ddeeq1 1001 . . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀y y = x → (x = w → ∀y x = w))
73, 6hbnd 786 . . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀y y = x → (¬ x = w → ∀y ¬ x = w))
87adantr 306 . . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (¬ x = w → ∀y ¬ x = w))
9 eq6 826 . . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀y y = x → ∀x ¬ ∀y y = x)
10 eq6 826 . . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀y y = z → ∀x ¬ ∀y y = z)
119, 10hban 704 . . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ∀x(¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z))
12 ax-17 925 . . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ∀w(¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z))
13 eq6 826 . . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ ∀y y = x → ∀z ¬ ∀y y = x)
14 ddeel1 1003 . . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ ∀y y = x → (x ∈ w → ∀y x ∈ w))
1513, 14hbexd 791 . . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ∀y y = x → (∃z x ∈ w → ∀y∃z x ∈ w))
1615adantr 306 . . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∃z x ∈ w → ∀y∃z x ∈ w))
17 ax15 1006 . . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ ∀y y = x → (¬ ∀y y = z → (x ∈ z → ∀y x ∈ z)))
1817imp 277 . . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (x ∈ z → ∀y x ∈ z))
1912, 18hbald 790 . . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∀w x ∈ z → ∀y∀w x ∈ z))
205, 16, 19hbimd 787 . . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ((∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → ∀y(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z)))
2111, 20hbald 790 . . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → ∀y∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z)))
22 ddeel2 1004 . . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∀y y = x → (w ∈ x → ∀y w ∈ x))
2322adantr 306 . . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (w ∈ x → ∀y w ∈ x))
245, 21, 23hbimd 787 . . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ((∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x) → ∀y(∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x)))
2512, 24hbald 790 . . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∀w(∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x) → ∀y∀w(∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x)))
2611, 25hbexd 791 . . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∃x∀w(∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x) → ∀y∃x∀w(∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x)))
275, 8, 26hbimd 787 . . . . 5 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ((¬ x = w → ∃x∀w(∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x)) → ∀y(¬ x = w → ∃x∀w(∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x))))
28 eqt2b 818 . . . . . . . . 9 ⊢ (w = y → (x = w ↔ x = y))
2928negbid 463 . . . . . . . 8 ⊢ (w = y → (¬ x = w ↔ ¬ x = y))
3029adantl 305 . . . . . . 7 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ w = y) → (¬ x = w ↔ ¬ x = y))
31 nd5 3736 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ ∀y y = x → (w = y → ∀x w = y))
3231adantr 306 . . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (w = y → ∀x w = y))
3332imdistani 340 . . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ w = y) → ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ ∀x w = y))
34 hba1 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀x w = y → ∀x∀x w = y)
3511, 34hban 704 . . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ ∀x w = y) → ∀x((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ ∀x w = y))
36 nd5 3736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ ∀y y = z → (w = y → ∀z w = y))
3736imdistani 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((¬ ∀y y = z ∧ w = y) → (¬ ∀y y = z ∧ ∀z w = y))
38 hba1 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀z w = y → ∀z∀z w = y)
39 a14b 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (w = y → (x ∈ w ↔ x ∈ y))
4039a4s 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀z w = y → (x ∈ w ↔ x ∈ y))
4138, 40biexd 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀z w = y → (∃z x ∈ w ↔ ∃z x ∈ y))
4241adantl 305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((¬ ∀y y = z ∧ ∀z w = y) → (∃z x ∈ w ↔ ∃z x ∈ y))
4337, 42syl 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ ∀y y = z ∧ w = y) → (∃z x ∈ w ↔ ∃z x ∈ y))
44 ax-4 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀x w = y → w = y)
4543, 44sylan2 346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ ∀y y = z ∧ ∀x w = y) → (∃z x ∈ w ↔ ∃z x ∈ y))
4645adantll 309 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ ∀x w = y) → (∃z x ∈ w ↔ ∃z x ∈ y))
47 pm4.2i 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (w = y → (x ∈ z ↔ x ∈ z))
4847a1i 7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (w = y → (x ∈ z ↔ x ∈ z)))
495, 18, 48cbvald 977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∀w x ∈ z ↔ ∀y x ∈ z))
5049adantr 306 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ ∀x w = y) → (∀w x ∈ z ↔ ∀y x ∈ z))
5146, 50imbi12d 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ ∀x w = y) → ((∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) ↔ (∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z)))
5235, 51biald 782 . . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ ∀x w = y) → (∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) ↔ ∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z)))
5333, 52syl 12 . . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ w = y) → (∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) ↔ ∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z)))
54 a13b 819 . . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w = y → (w ∈ x ↔ y ∈ x))
5554adantl 305 . . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ w = y) → (w ∈ x ↔ y ∈ x))
5653, 55imbi12d 474 . . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ w = y) → ((∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x) ↔ (∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x)))
5756exp 291 . . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (w = y → ((∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x) ↔ (∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x))))
585, 24, 57cbvald 977 . . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∀w(∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x) ↔ ∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x)))
5911, 58biexd 783 . . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∃x∀w(∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x) ↔ ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x)))
6059adantr 306 . . . . . . 7 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ w = y) → (∃x∀w(∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x) ↔ ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x)))
6130, 60imbi12d 474 . . . . . 6 ⊢ (((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) ∧ w = y) → ((¬ x = w → ∃x∀w(∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x)) ↔ (¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x))))
6261exp 291 . . . . 5 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (w = y → ((¬ x = w → ∃x∀w(∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x)) ↔ (¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x)))))
635, 27, 62cbvald 977 . . . 4 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (∀w(¬ x = w → ∃x∀w(∀x(∃z x ∈ w → ∀w x ∈ z) → w ∈ x)) ↔ ∀y(¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x))))
642, 63mpbii 168 . . 3 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → ∀y(¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x)))
656419.21bi 742 . 2 ⊢ ((¬ ∀y y = x ∧ ¬ ∀y y = z) → (¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x)))
6665exp 291 1 ⊢ (¬ ∀y y = x → (¬ ∀y y = z → (¬ x = y → ∃x∀y(∀x(∃z x ∈ y → ∀y x ∈ z) → y ∈ x))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803
This theorem is referenced by:  axpownd 3747
This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078
This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812
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