Theorem axrep 1473

Description: Axiom of Replacement expressed more compactly, with fewest number of different variables.

Assertion

Ref	Expression
axrep	⊢ ∃x(∃y∀z(φ → z = y) → ∀z(z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ y ∧ ∀yφ)))

Distinct variable group(s):   x,y,z

Proof of Theorem axrep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . 3 ⊢ y ∈ V
2		eleq2 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = y → (x ∈ w ↔ x ∈ y))
3	2	anbi1d 469	. . . . . . . 8 ⊢ (w = y → ((x ∈ w ∧ ∀yφ) ↔ (x ∈ y ∧ ∀yφ)))
4	3	biexdv 936	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → (∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ) ↔ ∃x(x ∈ y ∧ ∀yφ)))
5	4	bibi2d 470	. . . . . 6 ⊢ (w = y → ((z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)) ↔ (z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ y ∧ ∀yφ))))
6	5	bialdv 935	. . . . 5 ⊢ (w = y → (∀z(z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)) ↔ ∀z(z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ y ∧ ∀yφ))))
7	6	biexdv 936	. . . 4 ⊢ (w = y → (∃x∀z(z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)) ↔ ∃x∀z(z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ y ∧ ∀yφ))))
8	7	imbi2d 464	. . 3 ⊢ (w = y → ((∀x∃y∀z(φ → z = y) → ∃x∀z(z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ))) ↔ (∀x∃y∀z(φ → z = y) → ∃x∀z(z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ y ∧ ∀yφ)))))
9		ax-4 673	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀yφ → φ)
10	9	syl4 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((φ → z = y) → (∀yφ → z = y))
11	10	19.20i 691	. . . . . . 7 ⊢ (∀z(φ → z = y) → ∀z(∀yφ → z = y))
12	11	19.22i 723	. . . . . 6 ⊢ (∃y∀z(φ → z = y) → ∃y∀z(∀yφ → z = y))
13	12	19.20i 691	. . . . 5 ⊢ (∀x∃y∀z(φ → z = y) → ∀x∃y∀z(∀yφ → z = y))
14		ax-rep 1075	. . . . 5 ⊢ (∀x∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)))
15	13, 14	syl 12	. . . 4 ⊢ (∀x∃y∀z(φ → z = y) → ∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)))
16		ax-17 925	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ y → ∀x z ∈ y)
17		hbe1 709	. . . . . . 7 ⊢ (∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ) → ∀x∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ))
18	16, 17	hbbi 705	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ y ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)) → ∀x(z ∈ y ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)))
19	18	hbal 700	. . . . 5 ⊢ (∀z(z ∈ y ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)) → ∀x∀z(z ∈ y ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)))
20		ax-17 925	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ x → ∀y z ∈ x)
21		ax-17 925	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ w → ∀y x ∈ w)
22		hba1 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀yφ → ∀y∀yφ)
23	21, 22	hban 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ w ∧ ∀yφ) → ∀y(x ∈ w ∧ ∀yφ))
24	23	hbex 701	. . . . . . 7 ⊢ (∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ) → ∀y∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ))
25	20, 24	hbbi 705	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)) → ∀y(z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)))
26	25	hbal 700	. . . . 5 ⊢ (∀z(z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)) → ∀y∀z(z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)))
27		eleq2 1150	. . . . . . 7 ⊢ (y = x → (z ∈ y ↔ z ∈ x))
28	27	bibi1d 471	. . . . . 6 ⊢ (y = x → ((z ∈ y ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)) ↔ (z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ))))
29	28	bialdv 935	. . . . 5 ⊢ (y = x → (∀z(z ∈ y ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)) ↔ ∀z(z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ))))
30	19, 26, 29	cbvex 849	. . . 4 ⊢ (∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)) ↔ ∃x∀z(z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)))
31	15, 30	sylib 173	. . 3 ⊢ (∀x∃y∀z(φ → z = y) → ∃x∀z(z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ w ∧ ∀yφ)))
32	1, 8, 31	vtocl 1378	. 2 ⊢ (∀x∃y∀z(φ → z = y) → ∃x∀z(z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ y ∧ ∀yφ)))
33	32	19.35ri 756	1 ⊢ ∃x(∃y∀z(φ → z = y) → ∀z(z ∈ x ↔ ∃x(x ∈ y ∧ ∀yφ)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem is referenced by:  axrep2 1474  axrepndlem1 3738

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-12 802  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349

metamath.org