Theorem axrrecex 4081

Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. One of the 28 axioms for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axrrecex	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ A ≠ 0) → ∃x ∈ ℝ (A · x) = 1)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem axrrecex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 4044	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ ↔ ∃y(y ∈ R ∧ ⟨y, 0R⟩ = A))
2		neeq1 1194	. . . 4 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = A → (⟨y, 0R⟩ ≠ 0 ↔ A ≠ 0))
3		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = A → (⟨y, 0R⟩ · x) = (A · x))
4	3	cleq1d 1109	. . . . 5 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = A → ((⟨y, 0R⟩ · x) = 1 ↔ (A · x) = 1))
5	4	birexdv 1220	. . . 4 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = A → (∃x ∈ ℝ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1 ↔ ∃x ∈ ℝ (A · x) = 1))
6	2, 5	imbi12d 474	. . 3 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = A → ((⟨y, 0R⟩ ≠ 0 → ∃x ∈ ℝ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1) ↔ (A ≠ 0 → ∃x ∈ ℝ (A · x) = 1)))
7		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
8	7	recexsr 4010	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ R → (¬ y = 0R → ∃z(z ∈ R ∧ (y ·R z) = 1R)))
9		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ z ∈ V
10	9	mulresr 4051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ R ∧ z ∈ R) → (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = ⟨(y ·R z), 0R⟩)
11	10	cleq1d 1109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ R ∧ z ∈ R) → ((⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1 ↔ ⟨(y ·R z), 0R⟩ = 1))
12		df-1 4036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
13	12	cleq2i 1111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨(y ·R z), 0R⟩ = 1 ↔ ⟨(y ·R z), 0R⟩ = ⟨1R, 0R⟩)
14		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ·R z) ∈ V
15	14	eqresr 4049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨(y ·R z), 0R⟩ = ⟨1R, 0R⟩ ↔ (y ·R z) = 1R)
16	13, 15	bitr 151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨(y ·R z), 0R⟩ = 1 ↔ (y ·R z) = 1R)
17	11, 16	syl6bb 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ R ∧ z ∈ R) → ((⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1 ↔ (y ·R z) = 1R))
18	17	exp 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ R → (z ∈ R → ((⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1 ↔ (y ·R z) = 1R)))
19	18	pm5.32d 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ R → ((z ∈ R ∧ (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1) ↔ (z ∈ R ∧ (y ·R z) = 1R)))
20		opelreal 4043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ z ∈ R)
21	20	anbi1i 368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1) ↔ (z ∈ R ∧ (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1))
22	19, 21	syl5bb 410	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ R → ((⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1) ↔ (z ∈ R ∧ (y ·R z) = 1R)))
23		opex 1893	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨z, 0R⟩ ∈ V
24		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = ⟨z, 0R⟩ → (x ∈ ℝ ↔ ⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ))
25		opreq2 3007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = ⟨z, 0R⟩ → (⟨y, 0R⟩ · x) = (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩))
26	25	cleq1d 1109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = ⟨z, 0R⟩ → ((⟨y, 0R⟩ · x) = 1 ↔ (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1))
27	24, 26	anbi12d 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = ⟨z, 0R⟩ → ((x ∈ ℝ ∧ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1) ↔ (⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1)))
28	23, 27	cla4ev 1401	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1) → ∃x(x ∈ ℝ ∧ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1))
29	22, 28	syl6bir 188	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ R → ((z ∈ R ∧ (y ·R z) = 1R) → ∃x(x ∈ ℝ ∧ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1)))
30	29	19.23adv 954	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ R → (∃z(z ∈ R ∧ (y ·R z) = 1R) → ∃x(x ∈ ℝ ∧ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1)))
31	8, 30	syld 27	. . . . 5 ⊢ (y ∈ R → (¬ y = 0R → ∃x(x ∈ ℝ ∧ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1)))
32		df-0 4035	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
33	32	cleq2i 1111	. . . . . . 7 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = 0 ↔ ⟨y, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩)
34	7	eqresr 4049	. . . . . . 7 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩ ↔ y = 0R)
35	33, 34	bitr 151	. . . . . 6 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = 0 ↔ y = 0R)
36	35	negbii 162	. . . . 5 ⊢ (¬ ⟨y, 0R⟩ = 0 ↔ ¬ y = 0R)
37	31, 36	syl5ib 181	. . . 4 ⊢ (y ∈ R → (¬ ⟨y, 0R⟩ = 0 → ∃x(x ∈ ℝ ∧ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1)))
38		df-ne 1192	. . . 4 ⊢ (⟨y, 0R⟩ ≠ 0 ↔ ¬ ⟨y, 0R⟩ = 0)
39		df-rex 1206	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ℝ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1 ↔ ∃x(x ∈ ℝ ∧ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1))
40	37, 38, 39	3imtr4g 426	. . 3 ⊢ (y ∈ R → (⟨y, 0R⟩ ≠ 0 → ∃x ∈ ℝ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1))
41	1, 6, 40	gencl 1365	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → (A ≠ 0 → ∃x ∈ ℝ (A · x) = 1))
42	41	imp 277	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ A ≠ 0) → ∃x ∈ ℝ (A · x) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∃wrex 1202  ⟨cop 1810  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788  1_Rc1r 3789   ·_R cmr 3792  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   · cmulc 4032

This theorem is referenced by:  redivcl 4274

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r �967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-mul 4040

metamath.org