Theorem axsup 4088

Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. One of the 28 axioms for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axsup	⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A

Proof of Theorem axsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 1502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (A ⊆ ℝ → (y ∈ A → y ∈ ℝ))
2	1	syl4d 28	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x < y)) → (y ∈ A → (y ∈ A → ¬ x < y))))
3		pm2.43 57	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ∈ A → (y ∈ A → ¬ x < y)) → (y ∈ A → ¬ x < y))
4	2, 3	syl6 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x < y)) → (y ∈ A → ¬ x < y)))
5	4	19.20dv 946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x < y)) → ∀y(y ∈ A → ¬ x < y)))
6		df-ral}nbsp;1205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y ∈ A ¬ x < y ↔ ∀y(y ∈ A → ¬ x < y))
7	5, 6	syl6ibr 186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x < y)) → ∀y ∈ A ¬ x < y))
8		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)) → (z ∈ A ∧ y < z))
9	8	19.22i 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)) → ∃z(z ∈ A ∧ y < z))
10		df-rex 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃z ∈ A y < z ↔ ∃z(z ∈ A ∧ y < z))
11	9, 10	sylibr 175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)) → ∃z ∈ A y < z)
12<ôTD>	11	syl3 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))) → (y < x → ∃z ∈ A y < z))
13	12	syl3 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ∈ ℝ → (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))) → (y ∈ ℝ → (y < x → ∃z ∈ A y < z)))
14	13	19.20i 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))) → ∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z ∈ A y < z)))
15		df-ral 1205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z) ↔ ∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z ∈ A y < z)))
16	14, 15	sylibr 175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))) → ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z))
17	16	a1i 7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))) → ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))
18	7, 17	anim12d 431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x < y)) ∧ ∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))) → (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z))))
19		jcab 454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))) ↔ ((y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x < y)) ∧ (y ∈ ℝ → (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))))
20	19	bial 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))) ↔ ∀y((y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x < y)) ∧ (y ∈ ℝ → (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))))
21		19.26 749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y((y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x < y)) ∧ (y ∈ ℝ → (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))) ↔ (∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x < y)) ∧ ∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))))
22	20, 21	bitr 151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))) ↔ (∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x < y)) ∧ ∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))))
23	18, 22	syl5ib 181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))) → (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z))))
24	23	anim2d 433	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))))) → (x ∈ ℝ ∧ (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))))
25	24	19.22dv 947	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))))) → ∃x(x ∈ ℝ ∧ (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))))
26		df-rex 1206	. . . . . . . 8 ⊢ (∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)) ↔ ∃x(x ∈ ℝ ∧ (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z))))
27	25, 26	syl6ibr 186	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))))) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z))))
28	27	adantr 306	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ ¬ A = ∅) → (∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))))) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z))))
29		opeq1 1876	. . . . . . . . 9 ⊢ (v = w → ⟨v, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩)
30	29	eleq1d 1155	. . . . . . . 8 ⊢ (v = w → (⟨v, 0R⟩ ∈ A ↔ ⟨w, 0R⟩ ∈ A))
31	30	cbvabv 1424	. . . . . . 7 ⊢ {v∣⟨v, 0R⟩ ∈ A} = {w∣⟨w, 0R⟩ ∈ A}
32	31	supre 4054	. . . . . 6 ⊢ (((A ⊆ ℝ ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x)))) → ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))))))
33	28, 32	syl5 22	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ ¬ A = ∅) → (((A ⊆ ℝ ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x)))) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z))))
34	33	anabsi5 377	. . . 4 ⊢ (((A ⊆ ℝ ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x)))) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))
35		df-rex 1206	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x ↔ ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < x))
36		df-ral 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y ∈ A y < x ↔ ∀y(y ∈ A → y < x))
37		ax-1 3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ A → y < x) → (y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x)))
38	37	19.20i 691	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y(y ∈ A → y < x) → ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x)))
39	36, 38	sylbi 174	. . . . . . 7 ⊢ (∀y ∈ A y < x → ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x)))
40	39	anim2i 270	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < x) → (x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x))))
41	40	19.22i 723	. . . . 5 ⊢ (∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < x) → ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x))))
42	35, 41	sylbi 174	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x → ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x))))
43	34, 42	sylan2 346	. . 3 ⊢ (((A ⊆ ℝ ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))
44		df-ne 1192	. . . 4 ⊢ (A ≠ ∅ ↔ ¬ A = ∅)
45	44	anbi2i 367	. . 3 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅) ↔ (A ⊆ ℝ ∧ ¬ A = ∅))
46	43, 45	sylanb 344	. 2 ⊢ (((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅) ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))
47	46	3impa 609	1 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  0_Rc0r 3788  ℝcr 4027   < clt 4033

This theorem is referenced by:  sup2 4510  sqrlem7 4737  sqrlem8 4738  sqrlem13 4743  sqrlem18 4748

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-r 4038  df-lt 4041

metamath.org