Theorem axun 1081

Description: Axiom of Union expressed with fewest number of different variables.

Assertion

Ref	Expression
axun	⊢ ∃x∀y(∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x)

Distinct variable group(s):   x,y,z

Proof of Theorem axun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-un 1076	. 2 ⊢ ∃x∀y(∃w(y ∈ w ∧ w ∈ z) → y ∈ x)
2		a14b 820	. . . . . . 7 ⊢ (w = x → (y ∈ w ↔ y ∈ x))
3		a13b 819	. . . . . . 7 ⊢ (w = x → (w ∈ z ↔ x ∈ z))
4	2, 3	anbi12d 476	. . . . . 6 ⊢ (w = x → ((y ∈ w ∧ w ∈ z) ↔ (y ∈ x ∧ x ∈ z)))
5	4	cbvexv 973	. . . . 5 ⊢ (∃w(y ∈ w ∧ w ∈ z) ↔ ∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z))
6	5	imbi1i 161	. . . 4 ⊢ ((∃w(y ∈ w ∧ w ∈ z) → y ∈ x) ↔ (∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x))
7	6	bial 695	. . 3 ⊢ (∀y(∃w(y ∈ w ∧ w ∈ z) → y ∈ x) ↔ ∀y(∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x))
8	7	biex 733	. 2 ⊢ (∃x∀y(∃w(y ∈ w ∧ w ∈ z) → y ∈ x) ↔ ∃x∀y(∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x))
9	1, 8	mpbi 164	1 ⊢ ∃x∀y(∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem is referenced by:  uniex 1947  axunndlem1 3741

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-17 925  ax-un 1076

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679

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