Theorem axunndlem1 3741

Description: Lemma for the Axiom of Union with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axunndlem1	⊢ ∃x∀y(∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x)

Distinct variable group(s):   x,y   x,z

Proof of Theorem axunndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq5 824	. . . . . 6 ⊢ (∀y y = z → ∀x∀y y = z)
2		en2lp 3453	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (y ∈ x ∧ x ∈ y)
3		a14b 820	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = z → (x ∈ y ↔ x ∈ z))
4	3	anbi2d 468	. . . . . . . 8 ⊢ (y = z → ((y ∈ x ∧ x ∈ y) ↔ (y ∈ x ∧ x ∈ z)))
5	2, 4	mtbii 538	. . . . . . 7 ⊢ (y = z → ¬ (y ∈ x ∧ x ∈ z))
6	5	a4s 682	. . . . . 6 ⊢ (∀y y = z → ¬ (y ∈ x ∧ x ∈ z))
7	1, 6	nexd 780	. . . . 5 ⊢ (∀y y = z → ¬ ∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z))
8	7	pm2.21d 74	. . . 4 ⊢ (∀y y = z → (∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x))
9	8	a5i 687	. . 3 ⊢ (∀y y = z → ∀y(∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x))
10		19.8a 712	. . 3 ⊢ (∀y(∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x) → ∃x∀y(∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x))
11	9, 10	syl 12	. 2 ⊢ (∀y y = z → ∃x∀y(∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x))
12		axun 1081	. . 3 ⊢ ∃x∀w(∃x(w ∈ x ∧ x ∈ z) → w ∈ x)
13		eq6 826	. . . 4 ⊢ (¬ ∀y y = z → ∀x ¬ ∀y y = z)
14		eq6 826	. . . . 5 ⊢ (¬ ∀y y = z → ∀y ¬ ∀y y = z)
15		ax-17 925	. . . . . . . . 9 ⊢ (w ∈ x → ∀y w ∈ x)
16	15	a1i 7	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀y y = z → (w ∈ x → ∀y w ∈ x))
17		ddeel2 1004	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀y y = z → (x ∈ z → ∀y x ∈ z))
18	16, 17	hband 788	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀y y = z → ((w ∈ x ∧ x ∈ z) → ∀y(w ∈ x ∧ x ∈ z)))
19	13, 18	hbexd 791	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀y y = z → (∃x(w ∈ x ∧ x ∈ z) → ∀y∃x(w ∈ x ∧ x ∈ z)))
20	14, 19, 16	hbimd 787	. . . . 5 ⊢ (¬ ∀y y = z → ((∃x(w ∈ x ∧ x ∈ z) → w ∈ x) → ∀y(∃x(w ∈ x ∧ x ∈ z) → w ∈ x)))
21		a13b 819	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = y → (w ∈ x ↔ y ∈ x))
22	21	anbi1d 469	. . . . . . . 8 ⊢ (w = y → ((w ∈ x ∧ x ∈ z) ↔ (y ∈ x ∧ x ∈ z)))
23	22	biexdv 936	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → (∃x(w ∈ x ∧ x ∈ z) ↔ ∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z)))
24	23, 21	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (w = y → ((∃x(w ∈ x ∧ x ∈ z) → w ∈ x) ↔ (∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x)))
25	24	a1i 7	. . . . 5 ⊢ (¬ ∀y y = z → (w = y → ((∃x(w ∈ x ∧ x ∈ z) → w ∈ x) ↔ (∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x))))
26	14, 20, 25	cbvald 977	. . . 4 ⊢ (¬ ∀y y = z → (∀w(∃x(w ∈ x ∧ x ∈ z) → w ∈ x) ↔ ∀y(∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x)))
27	13, 26	biexd 783	. . 3 ⊢ (¬ ∀y y = z → (∃x∀w(∃x(w ∈ x ∧ x ∈ z) → w ∈ x) ↔ ∃x∀y(∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x)))
28	12, 27	mpbii 168	. 2 ⊢ (¬ ∀y y = z → ∃x∀y(∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x))
29	11, 28	pm2.61i 110	1 ⊢ ∃x∀y(∃x(y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ x)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem is referenced by:  axunnd 3742

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-fr 2169

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