Theorem biluk 512

Description: Lukasiewicz's shortest axiom for equivalential calculus. Storrs McCall, ed., Polish Logic 1920-1939 (Oxford, 1967), p. 96.

Assertion

Ref	Expression
biluk	⊢ ((φ ↔ ψ) ↔ ((χ ↔ ψ) ↔ (φ ↔ χ)))

Proof of Theorem biluk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bicom 398	. . . . 5 ⊢ ((φ ↔ χ) ↔ (χ ↔ φ))
2		biass 511	. . . . 5 ⊢ (((φ ↔ χ) ↔ (χ ↔ φ)) ↔ (φ ↔ (χ ↔ (χ ↔ φ))))
3	1, 2	mpbi 164	. . . 4 ⊢ (φ ↔ (χ ↔ (χ ↔ φ)))
4	3	bibi2i 460	. . 3 ⊢ ((ψ ↔ φ) ↔ (ψ ↔ (χ ↔ (χ ↔ φ))))
5		bicom 398	. . 3 ⊢ ((φ ↔ ψ) ↔ (ψ ↔ φ))
6		biass 511	. . 3 ⊢ (((ψ ↔ χ) ↔ (χ ↔ φ)) ↔ (ψ ↔ (χ ↔ (χ ↔ φ))))
7	4, 5, 6	3bitr4 158	. 2 ⊢ ((φ ↔ ψ) ↔ ((ψ ↔ χ) ↔ (χ ↔ φ)))
8		bicom 398	. . 3 ⊢ ((ψ ↔ χ) ↔ (χ ↔ ψ))
9		bicom 398	. . 3 ⊢ ((χ ↔ φ) ↔ (φ ↔ χ))
10	8, 9	bibi12i 462	. 2 ⊢ (((ψ ↔ χ) ↔ (χ ↔ φ)) ↔ ((=chi; ↔ ψ) ↔ (φ ↔ χ)))
11	7, 10	bitr 151	1 ⊢ ((φ ↔ ψ) ↔ ((χ ↔ ψ) ↔ (φ ↔ χ)))

Syntax hints:   ↔ wb 127

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198

metamath.org