Theorem bm1.3ii 1481

Description: Convert implication to equivalence using Aussonderung. Similar to Theorem 1.3ii of [BellMachover] p. 463.

Hypothesis

Ref	Expression
bm1.3ii.1	⊢ ∃x∀y(φ → y ∈ x)

Assertion

Ref	Expression
bm1.3ii	⊢ ∃x∀y(y ∈ x ↔ φ)

Distinct variable group(s):   φ,x   x,y

Proof of Theorem bm1.3ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm1.3ii.1	. . . . 5 ⊢ ∃x∀y(φ → y ∈ x)
2		a14b 820	. . . . . . . 8 ⊢ (x = z → (y ∈ x ↔ y ∈ z))
3	2	imbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ (x = z → ((φ → y ∈ x) ↔ (φ → y ∈ z)))
4	3	bialdv 935	. . . . . 6 ⊢ (x = z → (∀y(φ → y ∈ x) ↔ ∀y(φ → y ∈ z)))
5	4	cbvexv 973	. . . . 5 ⊢ (∃x∀y(φ → y ∈ x) ↔ ∃z∀y(φ → y ∈ z))
6	1, 5	mpbi 164	. . . 4 ⊢ ∃z∀y(φ → y ∈ z)
7		visset 1350	. . . . 5 ⊢ z ∈ V
8	7	zfaus 1480	. . . 4 ⊢ ∃x∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ φ))
9	6, 8	pm3.2i 234	. . 3 ⊢ (∃z∀y(φ → y ∈ z) ∧ ∃x∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ φ)))
10	9	exan 784	. 2 ⊢ ∃z(∀y(φ → y ∈ z) ∧ ∃x∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ φ)))
11		19.42v 966	. . . 4 ⊢ (∃x(∀y(φ → y ∈ z) ∧ ∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ φ))) ↔ (∀y(φ → y ∈ z) ∧ ∃x∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ φ))))
12		19.26 749	. . . . . 6 ⊢ (∀y((φ → y ∈ z) ∧ (y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ φ))) ↔ (∀y(φ → y ∈ z) ∧ ∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ φ))))
13		bimsc1 557	. . . . . . 7 ⊢ (((φ → y ∈ z) ∧ (y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ φ))) → (y ∈ x ↔ φ))
14	13	19.20i 691	. . . . . 6 ⊢ (∀y((φ → y ∈ z) ∧ (y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ φ))) → ∀y(y ∈ x ↔ φ))
15	12, 14	sylbir 176	. . . . 5 ⊢ ((∀y(φ → y ∈ z) ∧ ∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ φ))) → ∀y(y ∈ x ↔ φ))
16	15	19.22i 723	. . . 4 ⊢ (∃x(∀y(φ → y ∈ z) ∧ ∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ φ))) → ∃x∀y(y ∈ x ↔ φ))
17	11, 16	sylbir 176	. . 3 ⊢ ((∀y(φ → y ∈ z) ∧ ∃x∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ φ))) → ∃x∀y(y ∈ x ↔ φ))
18	17	19.23aiv 952	. 2 ⊢ (∃z(∀y(φ → y ∈ z) ∧ ∃x∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ φ))) → ∃x∀y(y ∈ x ↔ φ))
19	10, 18	ax-mp 6	1 ⊢ ∃x∀y(y ∈ x ↔ φ)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem is referenced by:  pwex 1806  uniex 1947

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-12 802  ax-14 805  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349

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