Theorem bm2.5ii 2274

Description: Problem 2.5(ii) of [BellMachover] p. 471.

Hypothesis

Ref	Expression
bm2.5ii.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
bm2.5ii	⊢ (A ⊆ On → ∪A = ∩{x ∈ On∣∀y ∈ A y ⊆ x})

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem bm2.5ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm2.5ii.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
2	1	onuni 2251	. 2 ⊢ (A ⊆ On → ∪A ∈ On)
3		intmin 1982	. . 3 ⊢ (∪A ∈ On → ∪A = ∩{x ∈ On∣∪A ⊆ x})
4		unissb 1941	. . . . . 6 ⊢ (∪A ⊆ x ↔ ∀y ∈ A y ⊆ x)
5	4	a1i 7	. . . . 5 ⊢ (x ∈ On → (∪A ⊆ x ↔ ∀y ∈ A y ⊆ x))
6	5	birabi 1342	. . . 4 ⊢ {x ∈ On∣∪A ⊆ x} = {x ∈ On∣∀y ∈ A y ⊆ x}
7	6	inteqi 1969	. . 3 ⊢ ∩{x ∈ On∣∪A ⊆ x} = ∩{x ∈ On∣∀y ∈ A y ⊆ x}
8	3, 7	syl6eq 1140	. 2 ⊢ (∪A ∈ On → ∪A = ∩{x ∈ On∣∀y ∈ A y ⊆ x})
9	2, 8	syl 12	1 ⊢ (A ⊆ On → ∪A = ∩{x ∈ On∣∀y ∈ A y ⊆ x})

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  {crab 1204  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ∪cuni 1919  ∩cint 1965  Oncon0 2199

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org