Theorem bnd2 3549

Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 3548 that picks a subset z out of a possibly proper class B in which a property is true.

Hypothesis

Ref	Expression
bnd2.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
bnd2	⊢ (∀x ∈ A ∃y ∈ B φ → ∃z(z ⊆ B ∧ ∀x ∈ A ∃y ∈ z φ))

Distinct variable group(s):   φ,z   x,z,A   x,y,B,z

Proof of Theorem bnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 1206	. . . 4 ⊢ (∃y ∈ B φ ↔ ∃y(y ∈ B ∧ φ))
2	1	biral 1223	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A ∃y ∈ B φ ↔ ∀x ∈ A ∃y(y ∈ B ∧ φ))
3		bnd2.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
4		raleq 1324	. . . . 5 ⊢ (v = A → (∀x ∈ v ∃y(y ∈ B ∧ φ) ↔ ∀x ∈ A ∃y(y ∈ B ∧ φ)))
5		raleq 1324	. . . . . 6 ⊢ (v = A → (∀x ∈ v ∃y ∈ w (y ∈ B ∧ φ) ↔ ∀x ∈ A ∃y ∈ w (y ∈ B ∧ φ)))
6	5	biexdv 936	. . . . 5 ⊢ (v = A → (∃w∀x ∈ v ∃y ∈ w (y ∈ B ∧ φ) ↔ ∃w∀x ∈ A ∃y ∈ w (y ∈ B ∧ φ)))
7	4, 6	imbi12d 474	. . . 4 ⊢ (v = A → ((∀x ∈ v ∃y(y ∈ B ∧ φ) → ∃w∀x ∈ v ∃y ∈ w (y ∈ B ∧ φ)) ↔ (∀x ∈ A ∃y(y ∈ B ∧ φ) → ∃w∀x ∈ A ∃y ∈ w (y ∈ B ∧ φ))))
8		bnd 3548	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ v ∃y(y ∈ B ∧ φ) → ∃w∀x ∈ v ∃y ∈ w (y ∈ B ∧ φ))
9	3, 7, 8	vtocl 1378	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A ∃y(y ∈ B ∧ φ) → ∃w∀x ∈ A ∃y ∈ w (y ∈ B ∧ φ))
10	2, 9	sylbi 174	. 2 ⊢ (∀x ∈ A ∃y ∈ B φ → ∃w∀x ∈ A ∃y ∈ w (y ∈ B ∧ φ))
11		visset 1350	. . . . 5 ⊢ w ∈ V
12	11	inex1 1697	. . . 4 ⊢ (w ∩ B) ∈ V
13		inss2 1658	. . . . . . 7 ⊢ (w ∩ B) ⊆ B
14		sseq1 1521	. . . . . . 7 ⊢ (z = (w ∩ B) → (z ⊆ B ↔ (w ∩ B) ⊆ B))
15	13, 14	mpbiri 169	. . . . . 6 ⊢ (z = (w ∩ B) → z ⊆ B)
16	15	biantrurd 546	. . . . 5 ⊢ (z = (w ∩ B) → (∀x ∈ A ∃y ∈ z φ ↔ (z ⊆ B ∧ ∀x ∈ A ∃y ∈ z φ)))
17		rexeq 1325	. . . . . . 7 ⊢ (z = (w ∩ B) → (∃y ∈ z φ ↔ ∃y ∈ (w ∩ B)φ))
18		elin 1635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ (w ∩ B) ↔ (y ∈ w ∧ y ∈ B))
19	18	anbi1i 368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ (w ∩ B) ∧ φ) ↔ ((y ∈ w ∧ y ∈ B) ∧ φ))
20		anass 336	. . . . . . . . 9 ⊢ (((y ∈ w ∧ y ∈ B) ∧ φ) ↔ (y ∈ w ∧ (y ∈ B ∧ φ)))
21	19, 20	bitr 151	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ (w ∩ B) ∧ φ) ↔ (y ∈ w ∧ (y ∈ B ∧ φ)))
22	21	birex2 1227	. . . . . . 7 ⊢ (∃y ∈ (w ∩ B)φ ↔ ∃y ∈ w (y ∈ B ∧ φ))
23	17, 22	syl6bb 414	. . . . . 6 ⊢ (z = (w ∩ B) → (∃y ∈ z φ ↔ ∃y ∈ w (y ∈ B ∧ φ)))
24	23	biraldv 1219	. . . . 5 ⊢ (z = (w ∩ B) → (∀x ∈ A ∃y ∈ z φ ↔ ∀x ∈ A ∃y ∈ w (y ∈ B ∧ φ)))
25	16, 24	bitr3d 408	. . . 4 ⊢ (z = (w ∩ B) → ((z ⊆ B ∧ ∀x ∈ A ∃y ∈ z φ) ↔ ∀x ∈ A ∃y ∈ w (y ∈ B ∧ φ)))
26	12, 25	cla4ev 1401	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A ∃y ∈ w (y ∈ B ∧ φ) → ∃z(z ⊆ B ∧ ∀x ∈ A ∃y ∈ z φ))
27	26	19.23aiv 952	. 2 ⊢ (∃w∀x ∈ A ∃y ∈ w (y ∈ B ∧ φ) → ∃z(z ⊆ B ∧ ∀x ∈ A ∃y ∈ z φ))
28	10, 27	syl 12	1 ⊢ (∀x ∈ A ∃y ∈ B φ → ∃z(z ⊆ B ∧ ∀x ∈ A ∃y ∈ z φ))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487

This theorem is referenced by:  ac6s 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-iin 1997  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-r1 3487  df-rank 3488

metamath.org