Theorem brcnv 2519

Description: The converse of a binary relation swaps arguments. Theorem 11 of [Suppes] p. 61.

Hypotheses

Ref	Expression
brcnv.1	⊢ A ∈ V
brcnv.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brcnv	⊢ (A◡RB ↔ BRA)

Proof of Theorem brcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcnv.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
2		brcnv.2	. . 3 ⊢ B ∈ V
3	1, 2	opelcnv 2518	. 2 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ ◡R ↔ ⟨B, A⟩ ∈ R)
4		df-br 2063	. 2 ⊢ (A◡RB ↔ ⟨A, B⟩ ∈ ◡R)
5		df-br 2063	. 2 ⊢ (BRA ↔ ⟨B, A⟩ ∈ R)
6	3, 4, 5	3bitr4 158	1 ⊢ (A◡RB ↔ BRA)

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  ^◡ccnv 2409

This theorem is referenced by:  cnvco 2520  dfrn2 2523  dfdm4 2525  brelrn 2559  eliniseg 2618  intasym 2627  cnvi 2634  dminss 2648  imainss 2649  dffun2 2674  funcnv2 2702  fun2cnv 2704  imadif 2714  f11 2780  ecid 3236

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426

metamath.org