Theorem brel 2459

Description: Membership in superset of binary relation.

Hypotheses

Ref	Expression
brel.1	⊢ B ∈ V
brel.2	⊢ R ⊆ (C × D)

Assertion

Ref	Expression
brel	⊢ (ARB → (A ∈ C ∧ B ∈ D))

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. 2 ⊢ B ∈ V
2		brel.2	. . 3 ⊢ R ⊆ (C × D)
3	2	brelg 2458	. 2 ⊢ (B ∈ V → (ARB → (A ∈ C ∧ B ∈ D)))
4	1, 3	ax-mp 6	1 ⊢ (ARB → (A ∈ C ∧ B ∈ D))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054   × cxp 2408

This theorem is referenced by:  soirri 2629  sotri 2630  ndmord 3064  ndmordi 3065  brecop2 3243  ecopoprsym 3246  ecopoprtrn 3247  nlt1pi 3827  indpi 3828  ltbtwnpq 3878  ltrpq 3879  prnmadd 3894  genpcd 3903  1pr 3911  1idpr 3927  ltexprlem4 3939  ltexpri 3943  ltaprlem 3944  prlem936 3949  reclem2pr 3951  reclem3pr 3952  reclem4pr 3953  suplem1pr 3955  suplem2pr 3956  recexsrlem 4006  addgt0sr 4007  mulgt0sr 4008  mappsrpr 4012  map2psrpr 4014  suppsr2 4017  suppsr3 4018  ltresr 4052

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424

metamath.org