Theorem bren 3282

Description: Equinumerosity relation. Compare Definition of [Enderton] p. 129.

Hypothesis

Ref	Expression
bren.1	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
bren	⊢ (A ≈ B ↔ ∃f f:A–1-1-onto→B)

Distinct variable group(s):   A,f   B,f

Proof of Theorem bren

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren.1	. 2 ⊢ B ∈ V
2		breng 3280	. 2 ⊢ (B ∈ V → (A ≈ B ↔ ∃f f:A–1-1-onto→B))
3	1, 2	ax-mp 6	1 ⊢ (A ≈ B ↔ ∃f f:A–1-1-onto→B)

Syntax hints:   ↔ wb 127  ∃wex 678   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  –1-1-onto→wf1o 2421   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  domen 3284  ener 3313  en0 3328  ensn1 3329  en1 3331  canth2 3381  mapen 3386  ssenen 3399  phplem5 3407  php3 3411  ssfi 3430  unfilem3 3440  fiint 3445  numth2 3600  ruc 4924  infxpidmlem10 4942  infxpidmlem12 4944  infmap2lem1 4951

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-dm 2428  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-en 3274

metamath.org