Theorem breq1d 2071

Description: Equality deduction for binary relation.

Hypothesis

Ref	Expression
breq1d.1	⊢ (φ → A = B)

Assertion

Ref	Expression
breq1d	⊢ (φ → (ARC ↔ BRC))

Proof of Theorem breq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 ⊢ (φ → A = B)
2		breq1 2065	. 2 ⊢ (A = B → (ARC ↔ BRC))
3	1, 2	syl 12	1 ⊢ (φ → (ARC ↔ BRC))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   = wceq 1091   class class class wbr 2054

This theorem is referenced by:  breq12d 2073  eqbrtrd 2077  syl6eqbr 2092  isorel 2932  isocnv 2934  isotr 2935  isotrALT 2936  f1owe 2943  f1oweOLD 2944  caoprord 3070  th3qlem2 3251  ensn1g 3330  en2sn 3336  snfi 3337  xpsneng 3340  alephordi 3679  ltapq 3870  ltmpq 3871  prlem936a 3947  prlem936 3949  ltasr 4003  addgt0sr 4007  axltadd 4085  ltadd1t 4348  leadd1t 4350  ltsubaddt 4353  lesubaddt 4355  ltaddsub2t 4358  lt2addt 4361  ltaddpost 4363  ltnegt 4366  lenegt 4368  ltmuldiv 4400  ltdivt 4404  ltmuldivt 4406  ltmuldiv2t 4407  ltrec 4410  ltdiv23 4413  lt2sq 4414  ltrect 4417  lerect 4418  ltdiv23t 4419  le2sqt 4420  nnleltp1t 4448  nn0ltp1let 4556  zltp1let 4597  zlem1ltt 4599  flleltt 4625  lt2sqet 4706  discrlem2 4714  discrlem3 4715  sqr0 4730  sqrlem4 4734  sqrlem6 4736  sqrlem12 4742  sqrlem22 4752  sqrlem24 4754  sqrgt0i 4755  sqrlem26 4756  sqr2irr 4782  absltt 4857  abs3lemt 4865  clim 4877  clim2 4881  clim0 4882  climunii 4883  ruclem4 4888  ruclem32 4916  ruclem33 4917  ruclem35 4919  normlem7t 5072  norm3lemt 5097  hcauchy 5103  hlim 5108  hlim2 5112  hlim0 5140  hlimcaui 5141  hlimunii 5143  occllem6 5185  projlem1 5193  projlem2 5194  projlem7 5199  projlem17 5209  projlem20 5212  projlem25 5217  projlem26 5218  projlem31 5223  pjth 5239  pjnormt 5666  pjnelt 5667  stelt 5671  stle1t 5674  cvexcht 5763

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-un 1490  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063

metamath.org