Theorem brsdom2 3363

Description: Alternate definition of strict dominance. Definition 3 of [Suppes] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
brsdom2.1	⊢ A ∈ V
brsdom2.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brsdom2	⊢ (A ≺ B ↔ (A ≼ B ∧ ¬ B ≼ A))

Proof of Theorem brsdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsdom2 3362	. . 3 ⊢ ≺ = ( ≼ ∖ ◡ ≼ )
2	1	eleq2i 1153	. 2 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ ≺ ↔ ⟨A, B⟩ ∈ ( ≼ ∖ ◡ ≼ ))
3		df-br 2063	. 2 ⊢ (A ≺ B ↔ ⟨A, B⟩ ∈ ≺ )
4		df-br 2063	. . . 4 ⊢ (A ≼ B ↔ ⟨A, B⟩ ∈ ≼ )
5		df-br 2063	. . . . . 6 ⊢ (B ≼ A ↔ ⟨B, A⟩ ∈ ≼ )
6		brsdom2.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ V
7		brsdom2.2	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ V
8	6, 7	opelcnv 2518	. . . . . 6 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ ◡ ≼ ↔ ⟨B, A⟩ ∈ ≼ )
9	5, 8	bitr4 154	. . . . 5 ⊢ (B ≼ A ↔ ⟨A, B⟩ ∈ ◡ ≼ )
10	9	negbii 162	. . . 4 ⊢ (¬ B ≼ A ↔ ¬ ⟨A, B⟩ ∈ ◡ ≼ )
11	4, 10	anbi12i 369	. . 3 ⊢ ((A ≼ B ∧ ¬ B ≼ A) ↔ (⟨A, B⟩ ∈ ≼ ∧ ¬ ⟨A, B⟩ ∈ ◡ ≼ ))
12		eldif 1496	. . 3 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ ( ≼ ∖ ◡ ≼ ) ↔ (⟨A, B⟩ ∈ ≼ ∧ ¬ ⟨A, B⟩ ∈ ◡ ≼ ))
13	11, 12	bitr4 154	. 2 ⊢ ((A ≼ B ∧ ¬ B ≼ A) ↔ ⟨A, B⟩ ∈ ( ≼ ∖ ◡ ≼ ))
14	2, 3, 13	3bitr4 158	1 ⊢ (A ≺ B ↔ (A ≼ B ∧ ¬ B ≼ A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∖ cdif 1484  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  ^◡ccnv 2409   ≼ cdom 3272   ≺ csdm 3273

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org