Theorem caoprord 3070

Description: Convert an operation ordering law to class notation.

Hypotheses

Ref	Expression
caoprord.1	⊢ A ∈ V
caoprord.2	⊢ B ∈ V
caoprord.3	⊢ (z ∈ S → (xRy ↔ (zFx)R(zFy)))

Assertion

Ref	Expression
caoprord	⊢ (C ∈ S → (ARB ↔ (CFA)R(CFB)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,F   x,S,y,z   x,A,y,z   x,B,y,z   x,C,y,z   x,R,y,z

Proof of Theorem caoprord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ (z = C → (zFA) = (CFA))
2		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ (z = C → (zFB) = (CFB))
3	1, 2	breq12d 2073	. . 3 ⊢ (z = C → ((zFA)R(zFB) ↔ (CFA)R(CFB)))
4	3	bibi2d 470	. 2 ⊢ (z = C → ((ARB ↔ (zFA)R(zFB)) ↔ (ARB ↔ (CFA)R(CFB))))
5		caoprord.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
6		caoprord.2	. . 3 ⊢ B ∈ V
7		breq1 2065	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (xRy ↔ ARy))
8		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (zFx) = (zFA))
9	8	breq1d 2071	. . . . . 6 ⊢ (x = A → ((zFx)R(zFy) ↔ (zFA)R(zFy)))
10	7, 9	bibi12d 477	. . . . 5 ⊢ (x = A → ((xRy ↔ (zFx)R(zFy)) ↔ (ARy ↔ (zFA)R(zFy))))
11		breq2 2066	. . . . . 6 ⊢ (y = B → (ARy ↔ ARB))
12		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (y = B → (zFy) = (zFB))
13	12	breq2d 2072	. . . . . 6 ⊢ (y = B → ((zFA)R(zFy) ↔ (zFA)R(zFB)))
14	11, 13	bibi12d 477	. . . . 5 ⊢ (y = B → ((ARy ↔ (zFA)R(zFy)) ↔ (ARB ↔ (zFA)R(zFB))))
15	10, 14	sylan9bb 418	. . . 4 ⊢ ((x = A ∧ y = B) → ((xRy ↔ (zFx)R(zFy)) ↔ (ARB ↔ (zFA)R(zFB))))
16	15	imbi2d 464	. . 3 ⊢ ((x = A ∧ y = B) → ((z ∈ S → (xRy ↔ (zFx)R(zFy))) ↔ (z ∈ S → (ARB ↔ (zFA)R(zFB)))))
17		caoprord.3	. . 3 ⊢ (z ∈ S → (xRy ↔ (zFx)R(zFy)))
18	5, 6, 16, 17	vtocl2 1379	. 2 ⊢ (z ∈ S → (ARB ↔ (zFA)R(zFB)))
19	4, 18	vtoclga 1387	1 ⊢ (C ∈ S → (ARB ↔ (CFA)R(CFB)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001

This theorem is referenced by:  caoprord2 3071  caoprord3 3072  genpcl 3905

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org