Theorem caoprord3 3072

Description: Ordering law.

Hypotheses

Ref	Expression
caoprord.1	⊢ A ∈ V
caoprord.2	⊢ B ∈ V
caoprord.3	⊢ (z ∈ S → (xRy ↔ (zFx)R(zFy)))
caoprord2.3	⊢ C ∈ V
caoprord2.com	⊢ (xFy) = (yFx)
caoprord3.4	⊢ D ∈ V

Assertion

Ref	Expression
caoprord3	⊢ (((B ∈ S ∧ C ∈ S) ∧ (AFB) = (CFD)) → (ARC ↔ DRB))

Distinct variable group(s):   x,y,z,F   x,S,y,z   x,A,y,z   x,B,y,z   x,C,y,z   x,D,y,z   x,R,y,z

Proof of Theorem caoprord3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caoprord.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ V
2		caoprord2.3	. . . . 5 ⊢ C ∈ V
3		caoprord.3	. . . . 5 ⊢ (z ∈ S → (xRy ↔ (zFx)R(zFy)))
4		caoprord.2	. . . . 5 ⊢ B ∈ V
5		caoprord2.com	. . . . 5 ⊢ (xFy) = (yFx)
6	1, 2, 3, 4, 5	caoprord2 3071	. . . 4 ⊢ (B ∈ S → (ARC ↔ (AFB)R(CFB)))
7	6	adantr 306	. . 3 ⊢ ((B ∈ S ∧ C ∈ S) → (ARC ↔ (AFB)R(CFB)))
8		breq1 2065	. . 3 ⊢ ((AFB) = (CFD) → ((AFB)R(CFB) ↔ (CFD)R(CFB)))
9	7, 8	sylan9bb 418	. 2 ⊢ (((B ∈ S ∧ C ∈ S) ∧ (AFB) = (CFD)) → (ARC ↔ (CFD)R(CFB)))
10		caoprord3.4	. . . 4 ⊢ D ∈ V
11	10, 4, 3	caoprord 3070	. . 3 ⊢ (C ∈ S → (DRB ↔ (CFD)R(CFB)))
12	11	ad2antlr 321	. 2 ⊢ (((B ∈ S ∧ C ∈ S) ∧ (AFB) = (CFD)) → (DRB ↔ (CFD)R(CFB)))
13	9, 12	bitr4d 409	1 ⊢ (((B ∈ S ∧ C ∈ S) ∧ (AFB) = (CFD)) → (ARC ↔ DRB))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001

This theorem is referenced by:  ordpipq 3850  genpnnp 3902  ltsrpr 3980

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org