Theorem cardmin 3666

Description: The smallest ordinal that strictly dominates a set is a cardinal.

Assertion

Ref	Expression
cardmin	⊢ (A ∈ B → (card ‘∩{x ∈ On∣A ≺ x}) = ∩{x ∈ On∣A ≺ x})

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem cardmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numthcor 3601	. . . 4 ⊢ (A ∈ B → ∃x ∈ On A ≺ x)
2		onintrab2 2269	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ On A ≺ x ↔ ∩{x ∈ On∣A ≺ x} ∈ On)
3	1, 2	sylib 173	. . 3 ⊢ (A ∈ B → ∩{x ∈ On∣A ≺ x} ∈ On)
4		onelon 2223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∩{x ∈ On∣A ≺ x} ∈ On ∧ y ∈ ∩{x ∈ On∣A ≺ x}) → y ∈ On)
5	4	exp 291	. . . . . . . . 9 ⊢ (∩{x ∈ On∣A ≺ x} ∈ On → (y ∈ ∩{x ∈ On∣A ≺ x} → y ∈ On))
6	3, 5	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ B → (y ∈ ∩{x ∈ On∣A ≺ x} → y ∈ On))
7		breq2 2066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = y → (A ≺ x ↔ A ≺ y))
8	7	elrab 1422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ {x ∈ On∣A ≺ x} ↔ (y ∈ On ∧ A ≺ y))
9		ssrab 1556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {x ∈ On∣A ≺ x} ⊆ On
10		onnmin 2270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({x ∈ On∣A ≺ x} ⊆ On ∧ y ∈ {x ∈ On∣A ≺ x}) → ¬ y ∈ ∩{x ∈ On∣A ≺ x})
11	9, 10	mpan 518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ {x ∈ On∣A ≺ x} → ¬ y ∈ ∩{x ∈ On∣A ≺ x})
12	8, 11	sylbir 176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ On ∧ A ≺ y) → ¬ y ∈ ∩{x ∈ On∣A ≺ x})
13	12	exp 291	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ On → (A ≺ y → ¬ y ∈ ∩{x ∈ On∣A ≺ x}))
14	13	con2d 83	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ On → (y ∈ ∩{x ∈ On∣A ≺ x} → ¬ A ≺ y))
15	6, 14	syli 52	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ B → (y ∈ ∩{x ∈ On∣A ≺ x} → ¬ A ≺ y))
16		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ y ∈ V
17		domtri 3644	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ V ∧ A ∈ B) → (y ≼ A ↔ ¬ A ≺ y))
18	16, 17	mpan 518	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ B → (y ≼ A ↔ ¬ A ≺ y))
19	15, 18	sylibrd 179	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ B → (y ∈ ∩{x ∈ On∣A ≺ x} → y ≼ A))
20		ax-17 925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ A → ∀x y ∈ A)
21		ax-17 925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ ≺ → ∀x y ∈ ≺ )
22		hbrab1 1310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ {x ∈ On∣A ≺ x} → ∀x y ∈ {x ∈ On∣A ≺ x})
23	22	hbint 1975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ ∩{x ∈ On∣A ≺ x} → ∀x y ∈ ∩{x ∈ On∣A ≺ x})
24	20, 21, 23	hbbr 2095	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ≺ ∩{x ∈ On∣A ≺ x} → ∀x A ≺ ∩{x ∈ On∣A ≺ x})
25		breq2 2066	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = ∩{x ∈ On∣A ≺ x} → (A ≺ x ↔ A ≺ ∩{x ∈ On∣A ≺ x}))
26	24, 25	onminsb 2264	. . . . . . . 8 ⊢ (∃x ∈ On A ≺ x → A ≺ ∩{x ∈ On∣A ≺ x})
27	1, 26	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ B → A ≺ ∩{x ∈ On∣A ≺ x})
28	27	a1d 14	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ B → (y ∈ ∩{x ∈ On∣A ≺ x} → A ≺ ∩{x ∈ On∣A ≺ x}))
29	19, 28	jcad 455	. . . . 5 ⊢ (A ∈ B → (y ∈ ∩{x ∈ On∣A ≺ x} → (y ≼ A ∧ A ≺ ∩{x ∈ On∣A ≺ x})))
30		domsdomtr 3374	. . . . 5 ⊢ ((y ≼ A ∧ A ≺ ∩{x ∈ On∣A ≺ x}) → y ≺ ∩{x ∈ On∣A ≺ x})
31	29, 30	syl6 23	. . . 4 ⊢ (A ∈ B → (y ∈ ∩{x ∈ On∣A ≺ x} → y ≺ ∩{x ∈ On∣A ≺ x}))
32	31	r19.21aiv 1259	. . 3 ⊢ (A ∈ B → ∀y ∈ ∩ {x ∈ On∣A ≺ x}y ≺ ∩{x ∈ On∣A ≺ x})
33	3, 32	jca 236	. 2 ⊢ (A ∈ B → (∩{x ∈ On∣A ≺ x} ∈ On ∧ ∀y ∈ ∩ {x ∈ On∣A ≺ x}y ≺ ∩{x ∈ On∣A ≺ x}))
34		iscard 3659	. 2 ⊢ ((card ‘∩{x ∈ On∣A ≺ x}) = ∩{x ∈ On∣A ≺ x} ↔ (∩{x ∈ On∣A ≺ x} ∈ On ∧ ∀y ∈ ∩ {x ∈ On∣A ≺ x}y ≺ ∩{x ∈ On∣A ≺ x}))
35	33, 34	sylibr 175	1 ⊢ (A ∈ B → (card ‘∩{x ∈ On∣A ≺ x}) = ∩{x ∈ On∣A ≺ x})

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  {crab 1204  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ∩cint 1965   class class class wbr 2054  Oncon0 2199   ‘cfv 2422   ≼ cdom 3272   ≺ csdm 3273  cardccrd 3620

This theorem is referenced by:  alephcard 3673

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623

metamath.org