Theorem cardon 3634

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. Unlike Takeuti/Zaring's proposition, we need the Axiom of Choice (in cardval 3633) because of our slightly different definition of of cardinal number.

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card ‘A) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardval 3633	. 2 ⊢ (card ‘A) = ∩{x ∈ On∣x ≈ A}
2		ssrab 1556	. . 3 ⊢ {x ∈ On∣x ≈ A} ⊆ On
3		fvex 2838	. . . . 5 ⊢ (card ‘A) ∈ V
4	1, 3	eqeltrr 1160	. . . 4 ⊢ ∩{x ∈ On∣x ≈ A} ∈ V
5		intex 1986	. . . 4 ⊢ (¬ {x ∈ On∣x ≈ A} = ∅ ↔ ∩{x ∈ On∣x ≈ A} ∈ V)
6	4, 5	mpbir 165	. . 3 ⊢ ¬ {x ∈ On∣x ≈ A} = ∅
7		oninton 2267	. . 3 ⊢ (({x ∈ On∣x ≈ A} ⊆ On ∧ ¬ {x ∈ On∣x ≈ A} = ∅) → ∩{x ∈ On∣x ≈ A} ∈ On)
8	2, 6, 7	mp2an 520	. 2 ⊢ ∩{x ∈ On∣x ≈ A} ∈ On
9	1, 8	eqeltr 1159	1 ⊢ (card ‘A) ∈ On

Syntax hints:  ¬ wn 1   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  {crab 1204  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ∩cint 1965   class class class wbr 2054  Oncon0 2199   ‘cfv 2422   ≈ cen 3271  cardccrd 3620

This theorem is referenced by:  oncard 3636  cardne 3637  carden 3638  carddomi 3641  carddom 3642  cardsdom 3643  domtri 3644  cardlim 3657  cardsdomel 3658  iscard 3659  iscard2 3660  cardval2 3661  carduni 3664  cardprc 3667  alephnbtwn 3674  cardaleph 3690  iscard3 3693  alephsson 3699  cardcf 3706  cfsuc 3709  cda1en 3721

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-en 3274  df-card 3623

metamath.org