Theorem cardonle 3629

Description: The cardinal of an ordinal number is less than or equal to the ordinal number. Proposition 10.6(3) of [TakeutiZaring] p. 85.

Assertion

Ref	Expression
cardonle	⊢ (A ∈ On → (card ‘A) ⊆ A)

Proof of Theorem cardonle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oncardval 3626	. 2 ⊢ (A ∈ On → (card ‘A) = ∩{x ∈ On∣x ≈ A})
2		enrefg 3294	. . 3 ⊢ (A ∈ On → A ≈ A)
3		breq1 2065	. . . . 5 ⊢ (x = A → (x ≈ A ↔ A ≈ A))
4	3	elrab 1422	. . . 4 ⊢ (A ∈ {x ∈ On∣x ≈ A} ↔ (A ∈ On ∧ A ≈ A))
5		intss1 1979	. . . 4 ⊢ (A ∈ {x ∈ On∣x ≈ A} → ∩{x ∈ On∣x ≈ A} ⊆ A)
6	4, 5	sylbir 176	. . 3 ⊢ ((A ∈ On ∧ A ≈ A) → ∩{x ∈ On∣x ≈ A} ⊆ A)
7	2, 6	mpdan 527	. 2 ⊢ (A ∈ On → ∩{x ∈ On∣x ≈ A} ⊆ A)
8	1, 7	eqsstrd 1534	1 ⊢ (A ∈ On → (card ‘A) ⊆ A)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  {crab 1204   ⊆ wss 1487  ∩cint 1965   class class class wbr 2054  Oncon0 2199   ‘cfv 2422   ≈ cen 3271  cardccrd 3620

This theorem is referenced by:  card0 3630  cardnn 3631  cardom 3632  oncard 3636  iscard 3659  iscard2 3660  carduni 3664  cfle 3708

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-en 3274  df-card 3623

metamath.org