Theorem carduni 3664

Description: The union of a set of cardinals is a cardinal. Theorem 18.14 of [Monk1] p. 133.

Assertion

Ref	Expression
carduni	⊢ (A ∈ B → (∀x ∈ A (card ‘x) = x → (card ‘∪A) = ∪A))

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem carduni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onunit 2250	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ B → (A ⊆ On → ∪A ∈ On))
2		fveq2 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = y → (card ‘x) = (card ‘y))
3		id 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = y → x = y)
4	2, 3	cleq12d 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = y → ((card ‘x) = x ↔ (card ‘y) = y))
5	4	rcla4v 1402	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀x ∈ A (card ‘x) = x → (y ∈ A → (card ‘y) = y))
6		cardon 3634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (card ‘y) ∈ On
7		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card ‘y) = y → ((card ‘y) ∈ On ↔ y ∈ On))
8	6, 7	mpbii 168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((card ‘y) = y → y ∈ On)
9	5, 8	syl6 23	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x ∈ A (card ‘x) = x → (y ∈ A → y ∈ On))
10	9	ssrdv 1509	. . . . . . 7 ⊢ (∀x ∈ A (card ‘x) = x → A ⊆ On)
11	1, 10	syl5 22	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ B → (∀x ∈ A (card ‘x) = x → ∪A ∈ On))
12	11	imp 277	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ B ∧ ∀x ∈ A (card ‘x) = x) → ∪A ∈ On)
13		cardonle 3629	. . . . 5 ⊢ (∪A ∈ On → (card ‘∪A) ⊆ ∪A)
14	12, 13	syl 12	. . . 4 ⊢ ((A ∈ B ∧ ∀x ∈ A (card ‘x) = x) → (card ‘∪A) ⊆ ∪A)
15		cardon 3634	. . . . . 6 ⊢ (card ‘∪A) ∈ On
16	15	oneirr 2345	. . . . 5 ⊢ ¬ (card ‘∪A) ∈ (card ‘∪A)
17		eluni 1922	. . . . . . . 8 ⊢ ((card ‘∪A) ∈ ∪A ↔ ∃y((card ‘∪A) ∈ y ∧ y ∈ A))
18	5	com12 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ A → (∀x ∈ A (card ‘x) = x → (card ‘y) = y))
19		uniexg 1948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (A ∈ B → ∪A ∈ V)
20		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ y ∈ V
21		carddom 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((y ∈ V ∧ ∪A ∈ V) → ((card ‘y) ⊆ (card ‘∪A) ↔ y ≼ ∪A))
22	20, 21	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∪A ∈ V → ((card ‘y) ⊆ (card ‘∪A) ↔ y ≼ ∪A))
23	22	bicomd 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∪A ∈ V → (y ≼ ∪A ↔ (card ‘y) ⊆ (card ‘∪A)))
24	19, 23	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (A ∈ B → (y ≼ ∪A ↔ (card ‘y) ⊆ (card ‘∪A)))
25		sseq1 1521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((card ‘y) = y → ((card ‘y) ⊆ (card ‘∪A) ↔ y ⊆ (card ‘∪A)))
26	24, 25	sylan9bb 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ B ∧ (card ‘y) = y) → (y ≼ ∪A ↔ y ⊆ (card ‘∪A)))
27		elssuni 1940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y ∈ A → y ⊆ ∪A)
28		ssdomg 3311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (y ∈ V → (y ⊆ ∪A → y ≼ ∪A))
29	20, 28	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y ⊆ ∪A → y ≼ ∪A)
30	27, 29	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ∈ A → y ≼ ∪A)
31	26, 30	syl5bi 183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ B ∧ (card ‘y) = y) → (y ∈ A → y ⊆ (card ‘∪A)))
32		ssel 1502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ⊆ (card ‘∪A) → ((card ‘∪A) ∈ y → (card ‘∪A) ∈ (card ‘∪A)))
33	31, 32	syl6 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ B ∧ (card ‘y) = y) → (y ∈ A → ((card ‘∪A) ∈ y → (card ‘∪A) ∈ (card ‘∪A))))
34	33	exp 291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ B → ((card ‘y) = y → (y ∈ A → ((card ‘∪A) ∈ y → (card ‘∪A) ∈ (card ‘∪A)))))
35	34	com13 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ A → ((card ‘y) = y → (A ∈ B → ((card ‘∪A) ∈ y → (card ‘∪A) ∈ (card ‘∪A)))))
36	18, 35	syld 27	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ A → (∀x ∈ A (card ‘x) = x → (A ∈ B → ((card ‘∪A) ∈ y → (card ‘∪A) ∈ (card ‘∪A)))))
37	36	com4r 41	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card ‘∪A) ∈ y → (y ∈ A → (∀x ∈ A (card ‘x) = x → (A ∈ B → (card ‘∪A) ∈ (card ‘∪A)))))
38	37	imp 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((card ‘∪A) ∈ y ∧ y ∈ A) → (∀x ∈ A (card ‘x) = x → (A ∈ B → (card ‘∪A) ∈ (card ‘∪A))))
39	38	19.23aiv 952	. . . . . . . 8 ⊢ (∃y((card ‘∪A) ∈ y ∧ y ∈ A) → (∀x ∈ A (card ‘x) = x → (A ∈ B → (card ‘∪A) ∈ (card ‘∪A))))
40	17, 39	sylbi 174	. . . . . . 7 ⊢ ((card ‘∪A) ∈ ∪A → (∀x ∈ A (card ‘x) = x → (A ∈ B → (card ‘∪A) ∈ (card ‘∪A))))
41	40	com13 33	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ B → (∀x ∈ A (card ‘x) = x → ((card ‘∪A) ∈ ∪A → (card ‘∪A) ∈ (card ‘∪A))))
42	41	imp 277	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ B ∧ ∀x ∈ A (card ‘x) = x) → ((card ‘∪A) ∈ ∪A → (card ‘∪A) ∈ (card ‘∪A)))
43	16, 42	mtoi 94	. . . 4 ⊢ ((A ∈ B ∧ ∀x ∈ A (card ‘x) = x) → ¬ (card ‘∪A) ∈ ∪A)
44	14, 43	jca 236	. . 3 ⊢ ((A ∈ B ∧ ∀x ∈ A (card ‘x) = x) → ((card ‘∪A) ⊆ ∪A ∧ ¬ (card ‘∪A) ∈ ∪A))
45		eloni 2209	. . . 4 ⊢ (∪A ∈ On → Ord ∪A)
46	15	onord 2343	. . . . 5 ⊢ Ord (card ‘∪A)
47		ordtri4 2235	. . . . 5 ⊢ ((Ord (card ‘∪A) ∧ Ord ∪A) → ((card ‘∪A) = ∪A ↔ ((card ‘∪A) ⊆ ∪A ∧ ¬ (card ‘∪A) ∈ ∪A)))
48	46, 47	mpan 518	. . . 4 ⊢ (Ord ∪A → ((card ‘∪A) = ∪A ↔ ((card ‘∪A) ⊆ ∪A ∧ ¬ (card ‘∪A) ∈ ∪A)))
49	12, 45, 48	3syl 21	. . 3 ⊢ ((A ∈ B ∧ ∀x ∈ A (card ‘x) = x) → ((card ‘∪A) = ∪A ↔ ((card ‘∪A) ⊆ ∪A ∧ ¬ (card ‘∪A) ∈ ∪A)))
50	44, 49	mpbird 171	. 2 ⊢ ((A ∈ B ∧ ∀x ∈ A (card ‘x) = x) → (card ‘∪A) = ∪A)
51	50	exp 291	1 ⊢ (A ∈ B → (∀x ∈ A (card ‘x) = x → (card ‘∪A) = ∪A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ∪cuni 1919   class class class wbr 2054  Ord word 2198  Oncon0 2199   ‘cfv 2422   ≼ cdom 3272  cardccrd 3620

This theorem is referenced by:  cardiun 3665  carduniima 3695

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623

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