Theorem cbvexfo 2924

Description: Change bound variable between domain and range of function.

Hypothesis

Ref	Expression
cbvfo.1	⊢ ((F ‘x) = y → (φ ↔ ψ))

Assertion

Ref	Expression
cbvexfo	⊢ (F:A–onto→B → (∃x ∈ A φ ↔ ∃y ∈ B ψ))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,F,y   φ,y   ψ,x

Proof of Theorem cbvexfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvfo.1	. . . . 5 ⊢ ((F ‘x) = y → (φ ↔ ψ))
2	1	negbid 463	. . . 4 ⊢ ((F ‘x) = y → (¬ φ ↔ ¬ ψ))
3	2	cbvfo 2923	. . 3 ⊢ (F:A–onto→B → (∀x ∈ A ¬ φ ↔ ∀y ∈ B ¬ ψ))
4	3	negbid 463	. 2 ⊢ (F:A–onto→B → (¬ ∀x ∈ A ¬ φ ↔ ¬ ∀y ∈ B ¬ ψ))
5		dfrex2 1212	. 2 ⊢ (∃x ∈ A φ ↔ ¬ ∀x ∈ A ¬ φ)
6		dfrex2 1212	. 2 ⊢ (∃y ∈ B ψ ↔ ¬ ∀y ∈ B ¬ ψ)
7	4, 5, 6	3bitr4g 428	1 ⊢ (F:A–onto→B → (∃x ∈ A φ ↔ ∃y ∈ B ψ))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   = wceq 1091  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  –onto→wfo 2420   ‘cfv 2422

This theorem is referenced by:  f1oweOLD 2944

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fo 2436  df-fv 2438

metamath.org