Theorem cda0en 3720

Description: Cardinal addition with cardinal zero (the empty set). Part (a1) of proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143.

Hypothesis

Ref	Expression
cda0en.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
cda0en	⊢ (A +c ∅) ≈ A

Proof of Theorem cda0en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cda0en.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
2		0ex 1745	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
3	1, 2	cdaval 3717	. . 3 ⊢ (A +c ∅) = ((A × {∅}) ∪ (∅ × {1o}))
4		xp0r 2474	. . . 4 ⊢ (∅ × {1o}) = ∅
5	4	uneq2i 1608	. . 3 ⊢ ((A × {∅}) ∪ (∅ × {1o})) = ((A × {∅}) ∪ ∅)
6		un0 1721	. . 3 ⊢ ((A × {∅}) ∪ ∅) = (A × {∅})
7	3, 5, 6	3eqtr 1123	. 2 ⊢ (A +c ∅) = (A × {∅})
8	1, 2	xpsnen 3339	. 2 ⊢ (A × {∅}) ≈ A
9	7, 8	eqbrtr 2076	1 ⊢ (A +c ∅) ≈ A

Syntax hints:   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∪ cun 1485  ∅c0 1707  {csn 1808   class class class wbr 2054   × cxp 2408  (class class class)co 3001  1_oc1o 3099   ≈ cen 3271   +_c ccda 3714

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-en 3274  df-cda 3715

metamath.org